SUMA CIĄGU ARYTMETYCZNEGO

Obliczanie sumy wielu kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego (np. sumy pierwszych stu liczb) mogłoby być czasochłonne.
Istnieją jednak wzory, który pozwala to zrobić w kilka sekund.

Twierdzenie (Wzory na sumę n początkowych wyrazów)

Sumę \( \displaystyle S_n \) pierwszych \( \displaystyle n \) wyrazów ciągu arytmetycznego możemy obliczyć na dwa sposoby:

1. Gdy znamy wyraz pierwszy i ostatni: \[ \displaystyle S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \] 2. Gdy znamy wyraz pierwszy i różnicę (bez znajomości ostatniego wyrazu):

\[ \displaystyle S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)r}{2} \cdot n \] Gdzie:
\( \displaystyle a_1 \) – pierwszy wyraz ciągu,
\( \displaystyle a_n \) – wyraz ostatni (n-ty),
\( \displaystyle r \) – różnica ciągu,
\( \displaystyle n \) – liczba dodawanych wyrazów.

Ciekawostka: Mały Gauss i suma liczb

Pod koniec XVIII wieku nauczyciel w Brunszwiku zadał uczniom zsumowanie liczb od 1 do 100. Liczył na długi odpoczynek, ale siedmioletni Carl Friedrich Gauss podał wynik niemal natychmiast.

Jak on to zrobił? Zauważył, że łącząc liczby w pary (pierwszą z ostatnią, drugą z przedostatnią), zawsze otrzyma tę samą sumę:

\( \displaystyle 1 + 100 = 101 \)
\( \displaystyle 2 + 99 = 101 \)
\( \displaystyle 3 + 98 = 101 \)
... i tak dalej.

Skoro takich par jest dokładnie 50 (czyli \( \displaystyle \frac{n}{2} \)), wystarczyło pomnożyć \( \displaystyle 101 \cdot 50 \), co daje 5050.
Dokładnie tę logikę odzwierciedla pierwszy wzór twierdzenia.

Zależność szczególna

(Wyznaczanie wyrazu ciągu z jego sumy) \[ \displaystyle a_n = S_n - S_{n-1} \] \( \quad \text{dla} \quad n > 1 \).