SUMA CIĄGU GEOMETRYCZNEGO

W świecie ciągów geometrycznych liczby nie rosną – one eksplodują.

Twierdzenie (Wzory na sumę n początkowych wyrazów)

Sumę \( \displaystyle S_n \) pierwszych \( \displaystyle n \) wyrazów ciągu geometrycznego obliczamy w zależności od wartości ilorazu \( \displaystyle q \):

1. Gdy iloraz \( \displaystyle q \neq 1 \): \[ \displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \] 2. Gdy iloraz \( \displaystyle q = 1 \) (ciąg stały):

\[ \displaystyle S_n = n \cdot a_1 \] Gdzie:
\( \displaystyle a_1 \) – pierwszy wyraz ciągu,
\( \displaystyle q \) – iloraz ciągu,
\( \displaystyle n \) – liczba wyrazów, które dodajemy.

Legenda o szachach i potęga sumowania

Według legendy, twórca szachów poprosił indyjskiego władcę o nagrodę, która wydawała się skromna: jedno ziarno ryżu za pierwsze pole szachownicy, dwa za drugie, cztery za trzecie i tak dalej – podwajając liczbę ziaren na każdym kolejnym polu.

Sprawdźmy to za pomocą wzoru na sumę:

Pierwszy wyraz: \( \displaystyle a_1 = 1 \)
Iloraz: \( \displaystyle q = 2 \) (liczba ziaren podwaja się)
Liczba wyrazów: \( \displaystyle n = 64 \) (liczba pól na szachownicy)

\( \displaystyle S_{64} = 1 \cdot \frac{1 - 2^{64}}{1 - 2} = \frac{1 - 2^{64}}{-1} = 2^{64} - 1 \)

Wynik? To dokładnie 18 446 744 073 709 551 615 ziaren ryżu.
Gdybyśmy chcieli to zasiać, potrzebowalibyśmy pola o powierzchni równej dwukrotności całej lądu na Ziemi, a zbiory z całej planety z dzisiejszych czasów zajęłyby ponad 2000 lat, aby uzbierać taką ilość! To idealnie pokazuje, jak szybko rośnie suma ciągu geometrycznego.

Zależność uniwersalna

(Działa dla każdego rodzaju ciągu, nie tylko geometrycznego) \[ \displaystyle a_n = S_n - S_{n-1} \] \( \quad \text{dla} \quad n > 1 \).

Pozwala ona odzyskać konkretny wyraz ciągu, jeśli dysponujemy jedynie wzorem na jego sumę.