WZORY REKURENCYJNE CIĄGÓW - ZADANIA
Zadanie 1
Dany jest ciąg arytmetyczny określony wzorem rekurencyjnym:
\[ \begin{cases} a_1 = 7 \\ a_{n+1} = a_n + 4 \end{cases} \]
Wyznacz wzór ogólny tego ciągu.
Rozwiązanie
Z zapisu rekurencyjnego odczytujemy parametry ciągu arytmetycznego: pierwszy wyraz oraz różnicę:\( a_1 = 7 \) oraz \( r = 4 \)
Przywołujemy postać wzoru ogólnego dla ciągu arytmetycznego:
\( a_n = a_1 + (n - 1)r \)
\( a_n = a_1 + (n - 1)r \)
Podstawiamy dane do wzoru i upraszczamy wyrażenie:
\( a_n = 7 + (n - 1) \cdot 4 \)
\( a_n = 7 + 4n - 4 \)
\( a_n = 4n + 3 \)
\( a_n = 7 + (n - 1) \cdot 4 \)
\( a_n = 7 + 4n - 4 \)
\( a_n = 4n + 3 \)
Sprawdzamy poprawność dla drugiego wyrazu (\( n = 2 \)):
Z rekurencji: \( a_2 = a_1 + 4 = 7 + 4 = 11 \)
Ze wzoru ogólnego: \( a_2 = 4 \cdot 2 + 3 = 8 + 3 = 11 \)
Z rekurencji: \( a_2 = a_1 + 4 = 7 + 4 = 11 \)
Ze wzoru ogólnego: \( a_2 = 4 \cdot 2 + 3 = 8 + 3 = 11 \)
Odpowiedź
Wzór ogólny tego ciągu arytmetycznego to \( a_n = 4n + 3 \).