WZORY REKURENCYJNE CIĄGÓW - ZADANIA
Zadanie 2
Dany jest ciąg geometryczny określony wzorem rekurencyjnym:
\[ \begin{cases} a_1 = 5 \\ a_{n+1} = a_n \cdot 3 \end{cases} \]
Wyznacz wzór ogólny tego ciągu.
Rozwiązanie
Na podstawie wzoru rekurencyjnego odczytujemy pierwszy wyraz oraz iloraz ciągu geometrycznego:\( a_1 = 5 \) oraz \( q = 3 \)
Przywołujemy postać wzoru ogólnego ciągu geometrycznego:
\( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \)
\( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \)
Podstawiamy nasze dane (\( a_1 \) i \( q \)) do wzoru:
\( a_n = 5 \cdot 3^{n-1} \)
\( a_n = 5 \cdot 3^{n-1} \)
Sprawdzamy poprawność wzoru dla \( n = 1 \) oraz \( n = 2 \):
\( a_1 = 5 \cdot 3^{1-1} = 5 \cdot 3^0 = 5 \cdot 1 = 5 \)
\( a_2 = 5 \cdot 3^{2-1} = 5 \cdot 3^1 = 15 \) (zgadza się z rekurencją: \( 5 \cdot 3 = 15 \))
\( a_1 = 5 \cdot 3^{1-1} = 5 \cdot 3^0 = 5 \cdot 1 = 5 \)
\( a_2 = 5 \cdot 3^{2-1} = 5 \cdot 3^1 = 15 \) (zgadza się z rekurencją: \( 5 \cdot 3 = 15 \))
Odpowiedź
Wzór ogólny ciągu geometrycznego o podanych parametrach ma postać \( a_n = 5 \cdot 3^{n-1} \).