WZORY REKURENCYJNE CIĄGÓW - ZADANIA
Zadanie 3
Dany jest ciąg geometryczny o wzorze ogólnym:
\[ a_n = 5 \cdot 2^n \]
Wyznacz wzór rekurencyjny tego ciągu.
Rozwiązanie
Aby zapisać wzór rekurencyjny, potrzebujemy wyznaczyć pierwszy wyraz \( a_1 \) oraz iloraz \( q \). Zacznijmy od obliczenia dwóch pierwszych wyrazów ciągu:\( a_1 = 5 \cdot 2^1 = 10 \)
\( a_2 = 5 \cdot 2^2 = 5 \cdot 4 = 20 \)
Teraz obliczamy iloraz \( q \), dzieląc wyraz drugi przez pierwszy:
\( q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{20}{10} = 2 \)
\( q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{20}{10} = 2 \)
Mając \( a_1 \) oraz \( q \), możemy zapisać definicję rekurencyjną. Pamiętamy, że musi ona zawierać warunek początkowy:
\( \begin{cases} a_1 = 10 \\ a_{n+1} = a_n \cdot 2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} a_1 = 10 \\ a_{n+1} = a_n \cdot 2 \end{cases} \)
Odpowiedź
Wzór rekurencyjny tego ciągu to: \( a_1 = 10, \ a_{n+1} = 2a_n \).