WZORY REKURENCYJNE CIĄGÓW - ZADANIA
Zadanie 4
Populacja pewnych bakterii potraja się co godzinę. Na początku badania (godzina 0) w próbce znajdowało się 100 bakterii.
Zapisz wzór rekurencyjny opisujący liczbę bakterii po n godzinach, a następnie oblicz, ile bakterii będzie w próbce po 5 godzinach.
Rozwiązanie
Zdefiniujmy najpierw nasze zmienne. Niech \( a_n \) oznacza liczbę bakterii po \( n \) godzinach.Dla \( n = 0 \) (moment startu) mamy \( a_0 = 100 \).
Z treści zadania wiemy, że każda kolejna godzina to potrojenie populacji względem stanu z godziny poprzedniej:
\( a_{n+1} = 3 \cdot a_n \)
\( a_{n+1} = 3 \cdot a_n \)
Mamy więc kompletny przepis rekurencyjny. Aby obliczyć wynik dla 5. godziny, musimy przejść przez wszystkie etapy pośrednie:
\( a_1 = 3 \cdot 100 = 300 \)
\( a_2 = 3 \cdot 300 = 900 \)
\( a_3 = 3 \cdot 900 = 2700 \)
\( a_4 = 3 \cdot 2700 = 8100 \)
\( a_5 = 3 \cdot 8100 = 24300 \)
\( a_1 = 3 \cdot 100 = 300 \)
\( a_2 = 3 \cdot 300 = 900 \)
\( a_3 = 3 \cdot 900 = 2700 \)
\( a_4 = 3 \cdot 2700 = 8100 \)
\( a_5 = 3 \cdot 8100 = 24300 \)
Odpowiedź
Wzór rekurencyjny to \[ \begin{cases} a_0 = 100 \\ a_{n+1} = 3a_n \end{cases} \] Po 5 godzinach w próbce będzie 24 300 bakterii.