WZORY REKURENCYJNE CIĄGÓW - ZADANIA
Zadanie
Najsłynniejszym ciągiem rekurencyjnym jest ciąg Fibonacciego, w którym każdy wyraz (począwszy od trzeciego) jest sumą dwóch poprzednich.
Definiujemy go wzorem:
\[ \begin{cases} a_1 = 1 \\ a_2 = 1 \\ a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2} \text{ dla } n \gt 2 \end{cases} \]
Wyznacz siedem pierwszych wyrazów tego ciągu i sprawdź, czy liczba 13 do niego należy.
Rozwiązanie
Wypisujemy dwa pierwsze wyrazy, które są punktem wyjścia naszej rekurencji:\( a_1 = 1 \)
\( a_2 = 1 \)
Zgodnie z definicją ciągu Fibonacciego, trzeci wyraz to suma pierwszego i drugiego, a czwarty to suma drugiego i trzeciego:
\( a_3 = a_1 + a_2 = 1 + 1 = 2 \)
\( a_4 = a_2 + a_3 = 1 + 2 = 3 \)
\( a_3 = a_1 + a_2 = 1 + 1 = 2 \)
\( a_4 = a_2 + a_3 = 1 + 2 = 3 \)
Kontynuujemy dodawanie dwóch ostatnich wyników, aby otrzymać wyrazy: piąty, szósty i siódmy:
\( a_5 = a_3 + a_4 = 2 + 3 = 5 \)
\( a_6 = a_4 + a_5 = 3 + 5 = 8 \)
\( a_7 = a_5 + a_6 = 5 + 8 = 13 \)
\( a_5 = a_3 + a_4 = 2 + 3 = 5 \)
\( a_6 = a_4 + a_5 = 3 + 5 = 8 \)
\( a_7 = a_5 + a_6 = 5 + 8 = 13 \)
Odpowiedź
Siedem pierwszych wyrazów ciągu Fibonacciego to: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13. Liczba 13 jest siódmym wyrazem tego ciągu.