WZORY REKURENCYJNE CIĄGÓW - ZADANIA
Zadanie
Zbadaj monotoniczność ciągu określonego wzorem rekurencyjnym:
\[ \begin{cases} b_1 = 4 \\ b_{n+1} = -2n + b_n \end{cases} \]
Rozwiązanie
Aby określić monotoniczność, musimy zbadać znak różnicy między kolejnym a poprzednim wyrazem ciągu (\( b_{n+1} - b_n \)):Przekształcamy wzór rekurencyjny: \( b_{n+1} - b_n = -2n \)
Analizujemy wartość wyrażenia \( -2n \) dla wszystkich liczb naturalnych dodatnich \( n \ge 1 \):
Ponieważ \( n \) jest zawsze dodatnie, to iloczyn \( -2 \cdot n \) będzie zawsze liczbą ujemną.
Zatem: \( -2n \lt 0 \) dla każdego \( n \in \mathbb{N}_+ \)
Ponieważ \( n \) jest zawsze dodatnie, to iloczyn \( -2 \cdot n \) będzie zawsze liczbą ujemną.
Zatem: \( -2n \lt 0 \) dla każdego \( n \in \mathbb{N}_+ \)
Formułujemy wniosek na podstawie znaku różnicy:
Skoro \( b_{n+1} - b_n \lt 0 \), oznacza to, że każdy kolejny wyraz ciągu jest mniejszy od wyrazu go poprzedzającego.
Skoro \( b_{n+1} - b_n \lt 0 \), oznacza to, że każdy kolejny wyraz ciągu jest mniejszy od wyrazu go poprzedzającego.
Odpowiedź
Ciąg jest malejący, ponieważ różnica \( b_{n+1} - b_n = -2n \) jest ujemna dla każdego \( n \ge 1 \).