WZORY REKURENCYJNE CIĄGÓW - ZADANIA
Zadanie
Dany jest ciąg: \( 2, \ -3, \ -6, \ 18, \dots \). Zapisz wzór rekurencyjny tego ciągu i oblicz jego piąty wyraz.
Rozwiązanie
Przeanalizujmy zależności między kolejnymi wyrazami:\( a_1 = 2 \)
\( a_2 = -3 \)
\( a_3 = -6 \implies 2 \cdot (-3) = a_1 \cdot a_2 \)
\( a_4 = 18 \implies (-3) \cdot (-6) = a_2 \cdot a_3 \)
Zauważamy, że każdy wyraz (od trzeciego wzwyż) jest iloczynem dwóch poprzednich. Wzór rekurencyjny przyjmuje postać:
\( \begin{cases} a_1 = 2 \\ a_2 = -3 \\ a_n = a_{n-1} \cdot a_{n-2} \quad \text{dla } n \ge 3 \end{cases} \)
\( \begin{cases} a_1 = 2 \\ a_2 = -3 \\ a_n = a_{n-1} \cdot a_{n-2} \quad \text{dla } n \ge 3 \end{cases} \)
Obliczamy piąty wyraz ciągu (\( a_5 \)):
\( a_5 = a_4 \cdot a_3 \)
\( a_5 = 18 \cdot (-6) = -108 \)
\( a_5 = a_4 \cdot a_3 \)
\( a_5 = 18 \cdot (-6) = -108 \)
Odpowiedź
Wzór rekurencyjny to \( a_n = a_{n-1} \cdot a_{n-2} \) przy warunkach \( a_1=2, a_2=-3 \). Piąty wyraz ciągu wynosi -108.