WZORY REKURENCYJNE CIĄGÓW - ZADANIA
Zadanie
Dany jest ciąg określony wzorem rekurencyjnym:
\[ \begin{cases} a_1 = 4 \\ a_2 = -1 \\ a_{n+2} = n \cdot a_n - 3a_{n+1} \end{cases} \]
Wyznacz piąty wyraz tego ciągu (\( a_5 \)).
Rozwiązanie
Aby obliczyć \( a_5 \), musimy wyznaczać wyrazy po kolei, zaczynając od \( a_3 \).Dane: \( a_1 = 4 \), \( a_2 = -1 \)
Obliczamy trzeci wyraz (\( a_3 \)). Podstawiamy \( n = 1 \) do wzoru:
\( a_3 = 1 \cdot a_1 - 3 \cdot a_2 \)
\( a_3 = 1 \cdot 4 - 3 \cdot (-1) = 4 + 3 = 7 \)
\( a_3 = 1 \cdot a_1 - 3 \cdot a_2 \)
\( a_3 = 1 \cdot 4 - 3 \cdot (-1) = 4 + 3 = 7 \)
Obliczamy czwarty wyraz (\( a_4 \)). Podstawiamy \( n = 2 \) do wzoru:
\( a_4 = 2 \cdot a_2 - 3 \cdot a_3 \)
\( a_4 = 2 \cdot (-1) - 3 \cdot 7 = -2 - 21 = -23 \)
\( a_4 = 2 \cdot a_2 - 3 \cdot a_3 \)
\( a_4 = 2 \cdot (-1) - 3 \cdot 7 = -2 - 21 = -23 \)
Obliczamy piąty wyraz (\( a_5 \)). Podstawiamy \( n = 3 \) do wzoru:
\( a_5 = 3 \cdot a_3 - 3 \cdot a_4 \)
\( a_5 = 3 \cdot 7 - 3 \cdot (-23) = 21 + 69 = 90 \)
\( a_5 = 3 \cdot a_3 - 3 \cdot a_4 \)
\( a_5 = 3 \cdot 7 - 3 \cdot (-23) = 21 + 69 = 90 \)
Odpowiedź
Piąty wyraz tego ciągu (\( a_5 \)) wynosi 90.