CIĄG ARYTMETYCZNY - ZADANIA
Zadanie 1
W ciągu arytmetycznym \( (a_n) \) dane są wyrazy: \( a_2 = 5 \) oraz \( a_4 = 11 \).
Wyznacz różnicę ciągu \( r \) oraz pierwszy wyraz \( a_1 \).
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Zapisujemy układ równań, korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego \( a_n = a_1 + (n-1)r \):\( \begin{cases} a_2 = a_1 + r \\ a_4 = a_1 + 3r \end{cases} \implies \begin{cases} 5 = a_1 + r \\ 11 = a_1 + 3r \end{cases} \)
Krok 2: Rozwiązujemy układ równań. Najprościej jest odjąć równania stronami (drugie minus pierwsze), aby wyeliminować \( a_1 \):
\( (a_1 + 3r) - (a_1 + r) = 11 - 5 \)
\( 2r = 6 \quad / : 2 \)
\( r = 3 \)
\( (a_1 + 3r) - (a_1 + r) = 11 - 5 \)
\( 2r = 6 \quad / : 2 \)
\( r = 3 \)
Krok 3: Podstawiamy wyznaczone \( r \) do pierwszego równania, aby obliczyć \( a_1 \):
\( 5 = a_1 + 3 \)
\( a_1 = 5 - 3 = 2 \)
\( 5 = a_1 + 3 \)
\( a_1 = 5 - 3 = 2 \)
Odpowiedź
Różnica ciągu wynosi \( r = 3 \), a pierwszy wyraz to \( a_1 = 2 \).