CIĄG ARYTMETYCZNY - ZADANIA
Zadanie 2
Dany jest ciąg arytmetyczny, w którym pierwszy wyraz \( \displaystyle a_1 = 4 \), a różnica \( \displaystyle r = 5 \). Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu (\( \displaystyle S_{10} \)).
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Aby skorzystać z podstawowego wzoru na sumę \( \displaystyle S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \), musimy najpierw znać wartość ostatniego sumowanego wyrazu, czyli \( \displaystyle a_{10} \).
Obliczamy \( \displaystyle a_{10} \) ze wzoru ogólnego: \( \displaystyle a_n = a_1 + (n - 1)r \)
\( \displaystyle a_{10} = a_1 + (10 - 1) \cdot r \)
\( \displaystyle a_{10} = 4 + 9 \cdot 5 = 4 + 45 = 49 \)
Krok 2: Teraz, mając komplet danych (\( \displaystyle a_1 = 4 \), \( \displaystyle a_{10} = 49 \), \( \displaystyle n = 10 \)), podstawiamy je do wzoru na sumę:
\( \displaystyle S_{10} = \frac{4 + 49}{2} \cdot 10 \)
Krok 3: Wykonujemy obliczenia:
\( \displaystyle S_{10} = \frac{53}{2} \cdot 10 \)
Możemy skrócić liczbę \( \displaystyle 10 \) z dwójką w mianowniku:
\( \displaystyle S_{10} = 53 \cdot 5 = 265 \)
Odpowiedź
Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu wynosi \( \displaystyle 265 \).
