CIĄG ARYTMETYCZNY - ZADANIA
Zadanie 9
Dany jest ciąg arytmetyczny \( \displaystyle (a_n) \), w którym \( \displaystyle a_1 = 37 \) oraz różnica \( \displaystyle r = -3 \).
Dla jakiej liczby wyrazów \( \displaystyle n \) suma \( \displaystyle S_n \) tego ciągu osiąga swoją największą wartość? Oblicz tę sumę.
Rozwiązanie
Krok 1: Analiza problemu. Ciąg jest malejący (\( \displaystyle r \lt 0 \)). Suma będzie rosła tak długo, jak długo będziemy dodawać do niej wyrazy dodatnie. Gdy tylko wyrazy staną się ujemne, suma zacznie maleć. Musimy zatem sprawdzić, ile wyrazów tego ciągu jest większych od zera. Korzystamy ze wzoru ogólnego:
\[ \displaystyle a_n=a_1 + (n - 1)r \]
Rozwiązujemy nierówność \( \displaystyle a_n > 0 \):
\( \displaystyle 37 + (n - 1) \cdot (-3) > 0 \)
\( \displaystyle 37 - 3n + 3 > 0 \)
\( \displaystyle 40 - 3n > 0 \)
\( \displaystyle 40 > 3n \,\, / : 3 \)
\( \displaystyle n \lt 13,33... \)
Największą liczbą naturalną spełniającą tę nierówność jest \( \displaystyle n = 13 \). Oznacza to, że trzynasty wyraz jest ostatnim wyrazem dodatnim.
Krok 2: Obliczamy wartość trzynastego wyrazu (\( \displaystyle a_{13} \)), aby móc skorzystać ze wzoru na sumę:
\( \displaystyle a_{13} = 37 + (13 - 1) \cdot (-3) \)
\( \displaystyle a_{13} = 37 + 12 \cdot (-3) = 37 - 36 = 1 \)
Krok 3: Obliczamy maksymalną sumę, czyli \( \displaystyle S_{13} \). Wykorzystujemy wzór na sumę \( \displaystyle n \) początkowych wyrazów:
\[ \displaystyle S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \]
\( \displaystyle S_{13} = \frac{37 + 1}{2} \cdot 13 \)
\( \displaystyle S_{13} = \frac{38}{2} \cdot 13 = 19 \cdot 13 = 247 \)
Odpowiedź
Suma osiąga największą wartość dla \( \displaystyle n = 13 \) wyrazów i wynosi ona \( \displaystyle 247 \).
