CIĄG ARYTMETYCZNY - ZADANIA
Zadanie 8
Suma \( n \) początkowych wyrazów ciągu określona jest wzorem \( S_n = 2n^2 - 3n \).
Wykaż, że jest to ciąg arytmetyczny i wyznacz jego wzór ogólny \( a_n \).
Następnie oblicz, ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych od 100.
Rozwiązanie
Krok 1: Wyznaczamy wzór ogólny \( a_n \).Korzystamy z zależności: \( a_n = S_n - S_{n-1} \)
Najpierw obliczamy \( S_{n-1} \):
\( S_{n-1} = 2(n-1)^2 - 3(n-1) \)
\( S_{n-1} = 2(n^2 - 2n + 1) - 3n + 3 \)
\( S_{n-1} = 2n^2 - 4n + 2 - 3n + 3 \)
\( S_{n-1} = 2n^2 - 7n + 5 \)
\( S_{n-1} = 2(n-1)^2 - 3(n-1) \)
\( S_{n-1} = 2(n^2 - 2n + 1) - 3n + 3 \)
\( S_{n-1} = 2n^2 - 4n + 2 - 3n + 3 \)
\( S_{n-1} = 2n^2 - 7n + 5 \)
Teraz obliczamy \( a_n \):
\( a_n = (2n^2 - 3n) - (2n^2 - 7n + 5) \)
\( a_n = 2n^2 - 3n - 2n^2 + 7n - 5 \)
\( a_n = 4n - 5 \)
\( a_n = (2n^2 - 3n) - (2n^2 - 7n + 5) \)
\( a_n = 2n^2 - 3n - 2n^2 + 7n - 5 \)
\( a_n = 4n - 5 \)
Krok 2: Wykazujemy, że ciąg jest arytmetyczny (\( r = a_{n+1} - a_n \)).
\( a_{n+1} = 4(n+1) - 5 = 4n - 1 \)
\( r = (4n - 1) - (4n - 5) \)
\( r = 4n - 1 - 4n + 5 = 4 \)
Różnica jest stała (\( r=4 \)), więc ciąg jest arytmetyczny.
\( a_{n+1} = 4(n+1) - 5 = 4n - 1 \)
\( r = (4n - 1) - (4n - 5) \)
\( r = 4n - 1 - 4n + 5 = 4 \)
Różnica jest stała (\( r=4 \)), więc ciąg jest arytmetyczny.
Krok 3: Obliczamy wyrazy mniejsze od 100:
\( 4n - 5 \lt 100 \)
\( 4n \lt 105 \quad / : 4 \)
\( n \lt 26,25 \)
Największą liczbą naturalną spełniającą ten warunek jest 26.
\( 4n - 5 \lt 100 \)
\( 4n \lt 105 \quad / : 4 \)
\( n \lt 26,25 \)
Największą liczbą naturalną spełniającą ten warunek jest 26.
Odpowiedź
Wzór ogólny to \( a_n = 4n - 5 \). Istnieje 26 wyrazów mniejszych od 100.