CIĄG GEOMETRYCZNY - ZADANIA
Zadanie 1
W ciągu geometrycznym \( (a_n) \) dane są wyrazy: \( a_2 = 6 \) oraz \( a_4 = 24 \).
Wyznacz iloraz ciągu \( q \) oraz pierwszy wyraz \( a_1 \). Rozważ wszystkie możliwe przypadki.
Rozwiązanie
Wykorzystujemy wzór ogólny ciągu geometrycznego \( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \) do zapisania układu równań:\( \begin{cases} a_2 = a_1 \cdot q^{2-1} \\ a_4 = a_1 \cdot q^{4-1} \end{cases} \implies \begin{cases} 6 = a_1 \cdot q \\ 24 = a_1 \cdot q^3 \end{cases} \)
Dzielimy równania stronami (drugie przez pierwsze), aby wyeliminować \( a_1 \):
\(\displaystyle \frac{a_1 \cdot q^3}{a_1 \cdot q} = \frac{24}{6} \)
\( q^2 = 4 \)
\(\displaystyle \frac{a_1 \cdot q^3}{a_1 \cdot q} = \frac{24}{6} \)
\( q^2 = 4 \)
Równanie kwadratowe daje nam dwa możliwe ilorazy:
Przypadek I: \( q = 2 \)
Przypadek II: \( q = -2 \)
Przypadek I: \( q = 2 \)
Przypadek II: \( q = -2 \)
Podstawiamy wyznaczone \( q \) do pierwszego równania układu (\( 6 = a_1 \cdot q \)):
Jeśli \( q = 2 \), to
\( 6 = a_1 \cdot 2 \implies a_1 = 3 \). Jeśli \( q = -2 \), to
\( 6 = a_1 \cdot (-2) \implies a_1 = -3 \).
Jeśli \( q = 2 \), to
\( 6 = a_1 \cdot 2 \implies a_1 = 3 \). Jeśli \( q = -2 \), to
\( 6 = a_1 \cdot (-2) \implies a_1 = -3 \).
Odpowiedź
Istnieją dwa takie ciągi spełniające warunki zadania:
1) \( a_1 = 3, q = 2 \)
2) \( a_1 = -3, q = -2 \)