CIĄG GEOMETRYCZNY - ZADANIA
Zadanie 2
Dany jest ciąg geometryczny, w którym pierwszy wyraz \( a_1 = 3 \), a iloraz \( q = 2 \).
Oblicz sumę ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu (\( S_8 \)).
Rozwiązanie
Wypisujemy dane i przypominamy wzór na sumę \( n \) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:Dane: \( a_1 = 3, \ q = 2, \ n = 8 \)
Wzór: \(\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \) dla \( q \neq 1 \).
Podstawiamy dane do wzoru:
\(\displaystyle S_8 = 3 \cdot \frac{1 - 2^8}{1 - 2} \)
\(\displaystyle S_8 = 3 \cdot \frac{1 - 2^8}{1 - 2} \)
Obliczamy wartość potęgi \( 2^8 \) oraz mianownik:
\( 2^8 = 256 \)
\(\displaystyle S_8 = 3 \cdot \frac{1 - 256}{-1} \)
\( 2^8 = 256 \)
\(\displaystyle S_8 = 3 \cdot \frac{1 - 256}{-1} \)
Finalizujemy obliczenia:
\( \displaystyle S_8 = 3 \cdot \frac{-255}{-1} \)
\( \displaystyle S_8 = 3 \cdot 255 = 765 \)
\( \displaystyle S_8 = 3 \cdot \frac{-255}{-1} \)
\( \displaystyle S_8 = 3 \cdot 255 = 765 \)
Odpowiedź
Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu wynosi 765.