CIĄG GEOMETRYCZNY - ZADANIA
Zadanie 9
W rosnącym ciągu geometrycznym \( (a_n) \) iloczyn trzech pierwszych wyrazów wynosi \( 216 \), a ich suma to \( 21 \). Wyznacz ten ciąg (podaj \( a_1 \) oraz \( q \)).
Rozwiązanie
Oznaczmy trzy pierwsze wyrazy jako: \( a_1, \ a_1 q, \ a_1 q^2 \).Z treści zadania układamy układ równań:
\[ \begin{cases} a_1 \cdot a_1 q \cdot a_1 q^2 = 216 \\ a_1 + a_1 q + a_1 q^2 = 21 \end{cases} \]
Upraszczamy pierwsze równanie (iloczyn):
\( a_1^3 \cdot q^3 = 216 \implies (a_1 q)^3 = 216 \)
Wyciągając pierwiastek trzeciego stopnia, otrzymujemy: \( a_1 q = 6 \).
Zauważmy, że \( a_1 q \) to po prostu drugi wyraz ciągu (\( a_2 \)).
\( a_1^3 \cdot q^3 = 216 \implies (a_1 q)^3 = 216 \)
Wyciągając pierwiastek trzeciego stopnia, otrzymujemy: \( a_1 q = 6 \).
Zauważmy, że \( a_1 q \) to po prostu drugi wyraz ciągu (\( a_2 \)).
Wyznaczamy \( a_1 \) z równania \( a_1 q = 6 \): \( a_1 = \frac{6}{q} \).
Podstawiamy to do drugiego równania (suma):
\( \frac{6}{q} + 6 + 6q = 21 \)
\( \frac{6}{q} + 6q - 15 = 0 \quad / \cdot q \)
\( 6q^2 - 15q + 6 = 0 \)
Podstawiamy to do drugiego równania (suma):
\( \frac{6}{q} + 6 + 6q = 21 \)
\( \frac{6}{q} + 6q - 15 = 0 \quad / \cdot q \)
\( 6q^2 - 15q + 6 = 0 \)
Rozwiązujemy równanie kwadratowe (\( \Delta = b^2 - 4ac \)):
\( \Delta = (-15)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 225 - 144 = 81 \implies \sqrt{\Delta} = 9 \)
\( q_1 = \frac{15 - 9}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \)
\( q_2 = \frac{15 + 9}{12} = \frac{24}{12} = 2 \)
\( \Delta = (-15)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 225 - 144 = 81 \implies \sqrt{\Delta} = 9 \)
\( q_1 = \frac{15 - 9}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \)
\( q_2 = \frac{15 + 9}{12} = \frac{24}{12} = 2 \)
Analizujemy warunki zadania:
Ciąg ma być rosnący.
Dla \( q = \frac{1}{2} \) i \( a_1 = 12 \) ciąg jest malejący (\( 12, 6, 3 \)).
Dla \( q = 2 \) i \( a_1 = 3 \) ciąg jest rosnący (\( 3, 6, 12 \)).
Ciąg ma być rosnący.
Dla \( q = \frac{1}{2} \) i \( a_1 = 12 \) ciąg jest malejący (\( 12, 6, 3 \)).
Dla \( q = 2 \) i \( a_1 = 3 \) ciąg jest rosnący (\( 3, 6, 12 \)).
Odpowiedź
Warunki zadania spełnia ciąg o pierwszym wyrazie \( a_1 = 3 \) i ilorazie \( q = 2 \).