CIĄG GEOMETRYCZNY - ZADANIA
Zadanie 8
Suma \( n \) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wyraża się wzorem \( S_n = 3(2^n - 1) \).
Wyznacz wzór ogólny \( a_n \) tego ciągu i oblicz jego piąty wyraz.
Rozwiązanie
Wykorzystujemy zależność między sumą a wyrazem ogólnym:Dla \( n=1 \): \( a_1 = S_1 = 3(2^1 - 1) = 3 \cdot 1 = 3 \)
Dla \( n > 1 \): \( a_n = S_n - S_{n-1} \)
Podstawiamy wzory do równania:
\( a_n = 3(2^n - 1) - 3(2^{n-1} - 1) \)
\( a_n = 3 \cdot 2^n - 3 - 3 \cdot 2^{n-1} + 3 \)
\( a_n = 3 \cdot 2^n - 3 \cdot 2^{n-1} \)
\( a_n = 3(2^n - 1) - 3(2^{n-1} - 1) \)
\( a_n = 3 \cdot 2^n - 3 - 3 \cdot 2^{n-1} + 3 \)
\( a_n = 3 \cdot 2^n - 3 \cdot 2^{n-1} \)
Wyłączając wspólny czynnik przed nawias:
\( a_n = 3(2^n - 2^{n-1}) \) \( 2^n= 2^{n-1+1}=2^{n-1}\cdot2 \)
\( a_n = 3(2 \cdot 2^{n-1} - 2^{n-1}) \)
Ponowie wyłączamy wspólny czynnik przed nawias:
\( a_n = 3( 2^{n-1}(2-1)) \)
\( a_n = 3\cdot2^{n-1} \)
\( a_n = 3(2^n - 2^{n-1}) \) \( 2^n= 2^{n-1+1}=2^{n-1}\cdot2 \)
\( a_n = 3(2 \cdot 2^{n-1} - 2^{n-1}) \)
Ponowie wyłączamy wspólny czynnik przed nawias:
\( a_n = 3( 2^{n-1}(2-1)) \)
\( a_n = 3\cdot2^{n-1} \)
Na podstawie wzoru ogólnego \( a_n = 3\cdot2^{n-1} \) obliczamy piąty wyraz (\( a_5 \)):
\( a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48 \)
\( a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48 \)
Odpowiedź
Wzór ogólny ciągu to \( a_n = 3 \cdot 2^{n-1} \), a piąty wyraz wynosi 48