NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE - ZADANIA

Zadanie 1

Rozwiąż nierówności kwadratowe \(x^2>0\); \(x^2\geq 0\); \(x^2\lt 0\); \(x^2\le 0\)

Rozwiązanie

Znajdujemy miejsca zerowe (sposób taki, jak przy równaniach).

\(x^2=0\) Dla lepszej przejżystości zamieniamy nierówność na równość
\(x=0\) Tylko liczba \(0\) spełnia to równaniwe i jest miejscem zerowym naszej funkcji

Przykład 1

\(x^2>0\)

Rysujemy parabolę, współczynik przy \(x^2\) równa się \(a=1\) jest dodatni, zatem ramiona skierowane są w górę, zaznaczamy też wyliczone miejsce zerowe funkcji.

Interpretacja geometryczna rozwiązania nierówności kwadratowej x^2>0

Patrzymy, jaki jest znak nierówności \((>)\) – nierówność ostra, zatem przedział otwarty.
Szukamy tych argumentów (x), dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, czyli kiedy wykres funkcji leży nad osią \(OX\).
Jak łatwo zauważyć, wykres leży nad osią \(OX\) dla wszystkich \(x\) oprócz \(0\).

Odpowiedź

\(x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ 0 \right\}\)
lub inny zapis
\(x\in(-\infty ,0)\cup (0,\infty )\)

Przykład 2

\(x^2\geq 0\)

Znak nierówności \((\geq)\) nierówność nieostra, czyli przedział domknięty

Tym razem szukamy tych argumentów (x), dla których wykres funkcji leży nad osią OX lub jest równy zero (styka się z osią OX). Jest to spełnione dla wszystkich liczb rzeczywistych, czyli \(x\in\mathbb{R}\).

Odpowiedź

\(x\in\mathbb{R}\)

Przykład 3

\(x^2\lt 0\)

\((\lt)\) przedział otwarty

Szukamy tych argumentów (x), dla których wykres funkcji leży pod osią OX. Nie jest to spełnione dla żadnego \(x\). Równanie jest sprzeczne – mówimy też, że rozwiązaniem nierówności jest zbiór pusty, co zapisujemy \(x\in\emptyset \).

Odpowiedź

\(x\in\emptyset \)

Przykład 4

\(x^2\le 0\)

\((\le)\) przedział domknięty

Szukamy tych x, dla których wykres funkcji leży pod osią OX lub jest równy zero (styka się z osią OX). Jest to spełnione tylko dla argumentu \(x=0\).

Odpowiedź

\(x=0\)