NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE

Definicja (Nierówności kwadratowe)

Nierównością kwadratową z jedną niewiadomą nazywamy każdą nierówność postaci:

\[ax^2+bx+c>0\] \[ax^2+bx+c\geq 0\] \[ax^2+bx+c\lt 0\] \[ax^2+bx+c\leq 0\] gdzie: \(a\neq0\) i \(a, b, c \in \mathbb{R}\)

Schemat rozwiązywania nierówności kwadratowych

1. Najpierw porządkujemy nierówność (jeśli zachodzi taka potrzeba).
2. Znajdujemy miejsca zerowe (o ile istnieją).
3. Rysujemy wykres nierówności.
4. Patrzymy na znak nierówności i ustalamy interesującą nas część wykresu.
5. Zapisujemy odpowiedź w postaci przedziału lub sumy przedziałów.

\(\lt,>\) - przedziały otwarte, zatem odpowiedź będzie w nawiasach \(\left( \right)\)
\(\leq, \geq \) - przedziały domknięte, zatem odpowiedź będzie w nawiasach \(\left\langle \right\rangle\)

Przykład jak rozwiązać nierówność kwadratową, krok po kroku

Zadanie

Oblicz nierówność kwadratową : \( x^2+5x+9\lt -2x+3\)

Rozwiązanie

\( x^2+5x+9\lt -2x+3\) Przenosimy wyrażenia na lewą stonę nierówności.

\( x^2+5x+9+2x-3\lt 0\) Redukujemy wyrazy podobne.

\( x^2+7x+6\lt 0\) Znajdujemy miejsca zerowe (sposób taki, jak przy równaniach).

\( x^2+7x+6= 0\) Przy znajdowaniu miejsc zerowych dla lepszej przejrzystości możemy nierówność zamienić na równość

\(\Delta=7^2-4\cdot 1\cdot 6=49-24=25\) Obliczamy deltę \(\Delta=b^2-4ac\), delta jest większa od zera zatem mamy dwa miejsca zerowe.

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{25}=5\) Obliczamy pierwiastek z delty

\(\displaystyle x_1=\frac{-7-5}{2}=\frac{-12}{2}=-6\) Pierwsze miejsce zerowe określone jest wzorem \(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)

\(\displaystyle x_2=\frac{-7+5}{2}=\frac{-2}{2}=-1\) Drugie miejsce zerowe określone jest wzorem \(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)

Rysujemy parabolę, współczynik \(a=1\) jest dodatni, zatem ramiona skierowane są w górę

Interpretacja geometryczna rozwiązania nierówności kwadratowej x^2+5x+9<-2x+3

Patrzymy jaki jest znak nierówności \((\lt)\)
Zatem interesują nas te \(x\) (argumenty) dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne, czyli kiedy wykres funkcji leży pod osią \(OX\)
Jak łatwo zauważyć, że ta część wykresu należy do przedziału \(x\in(-6,-1)\) jest to przedział otwarty ponieważ nierówność jest ostra \((\lt)\)

Odpowiedź

\(x\in(-6,-1)\)