POSTAĆ OGÓLNA , ILOCZYNOWA i KANONICZNA - ZADANIA
Zadanie 1
Przekształć wzór funkcji ogólnej kwadratowej \(f(x)=x^2-2x-3\) na postać:
a) iloczynową,
b) kanoniczną.
Rozwiązanie a)
\(f(x)=x^2-2x-3\)
\(a=1\,\,\,b=-2\,\,\,c=-3\)
Wypisujemy współczynniki.
\(\Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16\)
Obliczamy deltę \(\Delta=b^2-4ac\)
Delta jest większa od zera, zatem postać iloczynowa naszej funkcji określona jest wzorem \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) musimy obliczyć \(x_1\) oraz \(x_2\)
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{16}=4\)
Obliczamy pierwiastek z delty
\(\displaystyle x_1=\frac{-(-2)-4}{2\cdot1}=\frac{2-4}{2}=\frac{-2}2=-1\)
Obliczamy \(x_1\) korzystając ze wzoru: \(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(\displaystyle x_1=\frac{-(-2)-4}{2\cdot1}=\frac{2+4}{2}=\frac{6}2=3\)
Obliczamy \(x_2\) korzystając ze wzoru: \(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
Obliczone wartości \(x_1=-1\) , \(x_2=-1\) podstawiamy do wzoru \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) przy czym \(a=1\)
\(f(x)=1\cdot(x-(-1))(x-3)=(x+1)(x-3)\)
Odpowiedź
Postać iloczynowa funkcji \(f(x)=x^2-2x-3\) określona jest wzorem: \(f(x)=(x+1)(x-3)\)
Rozwiązanie b)
\(f(x)=x^2-2x-3\)
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej ma postać \(f(x)=a(x-p)^2+q\) musimy zatem obliczyć współrzędne \(p\) i \(q\)
\(a=1\,,\,\,b=-2\,,\,\,c=-3\,,\,\,\Delta= 16\)
wypiszmy jeszcze raz współczynniki i deltę
\(p=\frac{-(-2)}{2\cdot 1}=\frac22=1\)
obliczamy \(p\) ze wzoru: \(p=\frac{-b}{2a}\)
\(q=\frac{-16}{4\cdot 1}=\frac{-16}4=-4\)
obliczamy \(q\) ze wzoru: \(q=\frac{-\Delta}{4a}\)
Obliczone wartości \(p=1\) , \(q=-4\) podstawiamy do wzoru \(f(x)=a(x-p)^2+q\) przy czym \(a=1\)
\(f(x)=1\cdot(x-1)^2+(-4)=(x-1)^2-4\)
Odpowiedź
Postać kanoniczna funkcji \(f(x)=x^2-2x-3\) określona jest wzorem: \(f(x)=(x-1)^2-4\)
Wykres
Na płaszczyźnie rysujemy wykres funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-2x-3\). Współczynnik \(a=1>0\) zatem ramiona paraboli skierowane są w górę. Zaznaczamy na płaszczyźnie wyliczone powyżej miejsca zerowe \(x_1=-1\) \(x_2=3\) oraz współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p,q)\) czyli \(W=(1,-4)\). Zaznaczamy również punkt przecięcia się wykresu funkcji z osią \(OY\) który ma współrzędne \((0,c)\) czyli \((0,-3)\)
