POSTAĆ OGÓLNA , ILOCZYNOWA i KANONICZNA - ZADANIA
Zadanie 2
Przekształć wzór funkcji ogólnej kwadratowej \(f(x)=-\frac12x^2-2x+6\) na postać:
a) iloczynową,
b) kanoniczną.
Rozwiązanie a)
\(f(x)=-\frac12x^2-2x+6\)
\(a=-\frac12\,\,\,b=-2\,\,\,c=6\)
Wypisujemy współczynniki.
\(\Delta=(-2)^2-4\cdot (-\frac12)\cdot 6=4+12=16\)
Obliczamy deltę \(\Delta=b^2-4ac\)
Delta jest większa od zera, zatem postać iloczynowa naszej funkcji określona jest wzorem \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) musimy obliczyć \(x_1\) oraz \(x_2\)
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{16}=4\)
Obliczamy pierwiastek z delty
\(\displaystyle x_1=\frac{-(-2)-4}{2\cdot-\frac12}=\frac{2-4}{-1}=\frac{-2}{-1}=2\)
Obliczamy \(x_1\) korzystając ze wzoru: \(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(\displaystyle x_2=\frac{-(-2)+4}{2\cdot-\frac12}=\frac{2+4}{-1}=\frac{6}{-1}=-6\)
Obliczamy \(x_2\) korzystając ze wzoru: \(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
Obliczone wartości \(x_1=2\) , \(x_2=-6\) podstawiamy do wzoru \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) przy czym \(a=-\frac12\)
\(f(x)=-\frac12\cdot(x-2)(x-(-6))=-\frac12(x-2)(x+6)\)
Odpowiedź
Postać iloczynowa funkcji \(f(x)=-\frac12x^2-2x+6\) określona jest wzorem: \(f(x)=-\frac12(x-2)(x+6)\)
Rozwiązanie b)
\(f(x)=-\frac12x^2-2x+6\)
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej ma postać \(f(x)=a(x-p)^2+q\) musimy zatem obliczyć współrzędne \(p\) i \(q\)
\(a=-\frac12\,,\,\,b=-2\,,\,\,c=6\,,\,\,\Delta= 16\)
wypiszmy jeszcze raz współczynniki i deltę
\(p=\frac{-(-2)}{2\cdot -\frac12}=\frac2{-1}=-2\)
obliczamy \(p\) ze wzoru: \(p=\frac{-b}{2a}\)
\(q=\frac{-16}{4\cdot -\frac12}=\frac{-16}{-2}=8\)
obliczamy \(q\) ze wzoru: \(q=\frac{-\Delta}{4a}\)
Obliczone wartości \(p=-2\) , \(q=8\) podstawiamy do wzoru \(f(x)=a(x-p)^2+q\) przy czym \(a=1\)
\(f(x)=1\cdot(x-(-2))^2+8=(x+2)^2+8\)
Odpowiedź
Postać kanoniczna funkcji \(f(x)=-\frac12x^2-2x+6\) określona jest wzorem: \(f(x)=(x+2)^2+8\)
Wykres
Na płaszczyźnie rysujemy wykres funkcji kwadratowej \(f(x)=-\frac12x^2-2x+6\). Współczynnik \(a=-\frac12 < 0\) zatem ramiona paraboli skierowane są w dół. Zaznaczamy na płaszczyźnie wyliczone powyżej miejsca zerowe \(x_1=2\) \(x_2=-6\) oraz współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p,q)\) czyli \(W=(-2,8)\). Zaznaczamy również punkt przecięcia się wykresu funkcji z osią \(OY\) który ma współrzędne \((0,c)\) czyli \((0,6)\)
