Definicja (Postać ogólna funkcji kwadratowej)
Postacią ogólną funkcji kwadratowej - nazywamy funkcje zapisaną w postaci:
\[f(x)=ax^2+bx+c\] gdzie: \(a\neq0\) i \(a, b, c \in \mathbb{R}\)POSTAĆ OGÓLNA , ILOCZYNOWA i KANONICZNA
Z funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej możemy odczytać:
- Kierunek skierowania ramion paraboli, do góry gdy \(a>0\) lub do dołu gdy \(a < 0\)
- Punkt przecięcia paraboli z osią OY punkt ten ma współrzędne (0,c)
- Współczynniki a, b, c z których można obliczyć deltę , a następnie miejsca zerowe funkcji oraz współrzędne wierzchołka paraboli.
- Kierunek skierowania ramion paraboli, do góry gdy \(a>0\) lub do dołu gdy \(a < 0\)
- Punkt przecięcia paraboli z osią OY punkt ten ma współrzędne (0,c)
- Współczynniki a, b, c z których można obliczyć deltę , a następnie miejsca zerowe funkcji oraz współrzędne wierzchołka paraboli.
Przykład
\(f(x)=x^2-2x-3\) gdzie: \(a=1>0\) , \(c=-3\)
Definicja (Postać iloczynową funkcji kwadratowej)
Postacią iloczynową funkcji kwadratowej - nazywamy funkcję postaci:
\[f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\,\,\,\,\,\,gdy\,\,\,\Delta >0\] \[f(x)=a(x-x_0)^2\,\,\,\,\,\,gdy\,\,\,\Delta =0\] \[nie\,\, ma\,\, postaci\,\, iloczynowej\,\,\,\,\,\,gdy\,\,\,\Delta <0 \] gdzie:\(x_1=\frac{-b-\sqrt \Delta}{2a}\) \(x_2=\frac{-b+\sqrt \Delta}{2a}\) \(x_0=\frac{-b}{2a}\) są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej
\(\Delta=b^2-4ac\)
Z funkcji kwadratowej zapisanej w postaci iloczynowej możemy odczytać:
- Miejsca zerowe funkcji (czyli punkt przecięcia się paraboli z osią OX ).
- Kierunek skierowania ramion paraboli, do góry gdy \(a>0\) lub do dołu gdy \(a<0\)
- Miejsca zerowe funkcji (czyli punkt przecięcia się paraboli z osią OX ).
- Kierunek skierowania ramion paraboli, do góry gdy \(a>0\) lub do dołu gdy \(a<0\)
Przykład
\(f(x)=(x+1)(x-3)\) gdzie: \(x_1=-1\) , \(x_2=3\) , \(a=1>0\)
Definicja (Postać kanoniczna funkcji kwadratowej)
Postacią kanoniczną funkcji kwadratowej - nazywamy funkcję postaci:
\[f(x)=a(x-p)^2+q\] gdzie:\(p=\frac{-b}{2a}\) jest współrzędną \(x-ową\) wierzchołka paraboli
\(q=\frac{-\Delta}{4a}\) jest współrzędną \(y-ową\) wierzchołka paraboli
\(\Delta=b^2-4ac\)
Z funkcji kwadratowej zapisanej w postaci kanonicznej możemy odczytać
- Współrzędne wierzchołka paraboli.
- Kierunek skierowania ramion paraboli, do góry gdy \(a>0\) lub do dołu gdy \(a<0\)
- Współrzędne wierzchołka paraboli.
- Kierunek skierowania ramion paraboli, do góry gdy \(a>0\) lub do dołu gdy \(a<0\)
Przykład
\(f(x)=(x-1)^2-4\) gdzie: \(p=1\) , \(q=-4\) , \(a=1>0\)
POSTAĆ OGÓLNA , ILOCZYNOWA i KANONICZNA - ZADANIA
Przekształcanie z postaci ogólnej na iloczynową i kanoniczną
Zadanie 1
Przekształć wzór funkcji ogólnej kwadratowej \(f(x)=x^2-2x-3\) na postać iloczynową i kanoniczną. (Funkcja z powyższych przykładów)Zadanie 2
Przekształć wzór funkcji ogólnej kwadratowej \(f(x)=-\frac12x^2-2x+6\) na postać iloczynową i kanoniczną.Zadanie 3
Przekształć wzór funkcji ogólnej kwadratowej \(f(x)=x^2-4x\) na postać iloczynową i kanoniczną.Zadanie 4
Przekształć wzór funkcji ogólnej kwadratowej \(f(x)=x^2-4x+4\) na postać iloczynową i kanoniczną.
Zadanie 5
Przekształć wzór funkcji ogólnej kwadratowej \(f(x)=-\frac23x^2+6\) na postać iloczynową i kanoniczną. Przekształcanie z postaci iloczynowej na ogólną i kanoniczną
Zadanie 6
Przekształć wzór funkcji iloczynowej \(f(x)=(x-3)(x-2)\) na postać: a) ogólną, b) kanoniczną.Zadanie 7
Przekształć wzór funkcji iloczynowej \(f(x)=(x+1)(3-x)\) na postać: a) ogólną, b) kanoniczną.Przekształcanie z postaci kanonicznej na ogólną i iloczynową
Zadanie 8
Przekształć wzór funkcji kanonicznej \(f(x)=(x-2)^2-9\) na postać: ogólną i iloczynową. Zadanie 9
Przekształć wzór funkcji kanonicznej \(f(x)=-\frac13(x+3)^2+3\) na postać ogólną i iloczynową.
→ dalej Równania kwadratowe →
← wstecz Miejsce zerowe funkcji kwadratowej ←