POSTAĆ OGÓLNA , ILOCZYNOWA i KANONICZNA - ZADANIA
Zadanie 4
Przekształć wzór funkcji ogólnej kwadratowej \(f(x)=x^2-4x+4\) na postać:
a) iloczynową,
b) kanoniczną.
Rozwiązanie a)
\(f(x)=x^2-4x+4\)
\(a=1\,\,\,b=-4\,\,\,c=4\)
Wypisujemy współczynniki.
\(\Delta=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 4=16-16=0\)
Obliczamy deltę \(\Delta=b^2-4ac\)
Delta równa się zero, zatem postać iloczynowa naszej funkcji określona jest wzorem \(f(x)=a(x-x_0)^2\) musimy obliczyć \(x_0\)
\(\displaystyle x_0=\frac{-(-4)}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2\)
Obliczamy \(x_0\) korzystając ze wzoru: \(x_0=\frac{-b}{2a}\)
Obliczone \(x_0=2\) podstawiamy do wzoru \(f(x)=a(x-x_0)^2\) przy czym \(a=1\)
\(f(x)=1\cdot(x-2)^2\)
Odpowiedź
Postać iloczynowa funkcji \(f(x)=x^2-4x+4\) określona jest wzorem: \(f(x)=(x-2)^2\)
Rozwiązanie b)
\(f(x)=x^2-4x+4\)
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej ma postać \(f(x)=a(x-p)^2+q\) musimy zatem obliczyć współrzędne \(p\) i \(q\)
\(a=1\,,\,\,b=-4\,,\,\,c=4\,,\,\,\Delta=0\)
wypiszmy jeszcze raz współczynniki i deltę
\(p=\frac{-(-4)}{2\cdot 1}=\frac42=2\)
obliczamy \(p\) ze wzoru: \(p=\frac{-b}{2a}\)
\(q=\frac{0}{4\cdot 1}=\frac{0}4=0\)
obliczamy \(q\) ze wzoru: \(q=\frac{-\Delta}{4a}\)
Obliczone wartości \(p=2\) , \(q=0\) podstawiamy do wzoru \(f(x)=a(x-p)^2+q\) przy czym \(a=1\)
\(f(x)=1\cdot(x-2)^2+0=(x-2)^2\)
Odpowiedź
Okazało się że wzór na postać kanoniczną jest taki sam jak na postać iloczynową czyli : \(f(x)=(x-2)^2\) jest tak zawsze gdy \(\Delta=0\)
Wykres
Na płaszczyźnie rysujemy wykres funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-4x+4\). Współczynnik \(a=1>0\) zatem ramiona paraboli skierowane są w górę. Zaznaczamy na płaszczyźnie wyliczone powyżej miejsce zerowe \(x_0=2\) oraz współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p,q)\) czyli \(W=(2,0)\). Miejsce zerowe funkcji jest zarazem wierzchołkiem paraboli, jest tak zawsze gdy \(\Delta=0\). Zaznaczamy również punkt przecięcia się wykresu funkcji z osią \(OY\) który ma współrzędne \((0,c)\) czyli \((0,4)\)
