POSTAĆ OGÓLNA , ILOCZYNOWA i KANONICZNA - ZADANIA
Zadanie 5
Przekształć wzór funkcji ogólnej kwadratowej \(f(x)=-\frac23x^2+6\) na postać:
a) iloczynową,
b) kanoniczną.
Rozwiązanie a)
\(f(x)=-\frac23x^2+6\)
\(a=-\frac23\,\,\,b=0\,\,\,c=6\)
Wypisujemy współczynniki.
\(\Delta=(0)^2-4\cdot (-\frac23)\cdot 6=16\)
Obliczamy deltę \(\Delta=b^2-4ac\)
Delta jest większa od zera, zatem postać iloczynowa naszej funkcji określona jest wzorem \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) musimy obliczyć \(x_1\) oraz \(x_2\)
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{16}=4\)
Obliczamy pierwiastek z delty
\(\displaystyle x_1=\frac{0-4}{2\cdot(-\frac23)}=\frac{-4}{-\frac43}=4\cdot\frac34=3\)
Obliczamy \(x_1\) korzystając ze wzoru: \(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(\displaystyle x_1=\frac{0+4}{2\cdot(-\frac23)}=\frac{4}{-\frac43}=-4\cdot\frac34=-3\)
Obliczamy \(x_2\) korzystając ze wzoru: \(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
Obliczone wartości \(x_1=3\) , \(x_2=-3\) podstawiamy do wzoru \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) przy czym \(a=-\frac34\)
\(f(x)=-\frac23\cdot(x-3)(x-(-3))=-\frac23(x-3)(x+3)\)
Odpowiedź
Postać iloczynowa funkcji \(f(x)=-\frac23x^2+6\) określona jest wzorem: \(-\frac23(x-3)(x+3)\)
Rozwiązanie b)
\(f(x)=-\frac23x^2+6\)
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej ma postać \(f(x)=a(x-p)^2+q\) musimy zatem obliczyć współrzędne \(p\) i \(q\)
\(a=-\frac23\,,\,\,b=0\,,\,\,c=6\,,\,\,\Delta=16\)
wypiszmy jeszcze raz współczynniki i deltę
\(p=\frac{0}{2\cdot(-\frac23) }=0\)
obliczamy \(p\) ze wzoru: \(p=\frac{-b}{2a}\)
\(q=\frac{-16}{4\cdot (-\frac23)}=\frac{-16}{-\frac83}=16\cdot\frac38=6\)
obliczamy \(q\) ze wzoru: \(q=\frac{-\Delta}{4a}\)
Obliczone wartości \(p=0\) , \(q=6\) podstawiamy do wzoru \(f(x)=a(x-p)^2+q\) przy czym \(a=-frac23\)
\(f(x)=-\frac23(x-0)^2+6=-\frac23x^2+6\)
Odpowiedź
Okazało się że postać kanoniczna funkcji kwadratowej jest taka sama jak postać ogólna \(f(x)=-\frac23x^2+6\) jest tak zawsze gdy współczynnik \(b=0\)
Wykres
Na płaszczyźnie rysujemy wykres funkcji kwadratowej \(f(x)=-\frac23x^2+6\). Współczynnik \(a=-\frac23< 0\) zatem ramiona paraboli skierowane są w dół. Zaznaczamy na płaszczyźnie wyliczone powyżej miejsca zerowe \(x_1=3\) \(x_2=-3\) oraz współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p,q)\) czyli \(W=(0,6)\). Punkt przecięcia osi \(OY\) który ma współrzędne \((0,c)\) w tym przypadku jest zrazem wierzchołkiem.
