WZORY VIETE'A
Twierdzenie Wzory Viete'a
Wzory Viete'a są to wzory wiążące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami.
Jeżeli \(x_1,\,x_2\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji kwadratowej
\(\displaystyle y=ax^2+bx+c\) , \(a\neq 0\) to zachodzą wzory:
\[ \displaystyle \left\{ \begin{array}{cl}
\displaystyle x_1+x_2=-\frac{b}{a} \\
\displaystyle x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}
\end{array} \right. \]
Jeżeli \(x_0\) jest jedynym miejscem zerowym funkcji kwadratowej \(\displaystyle y=ax^2+bx+c\) , \(a\neq 0\) to
\[ \displaystyle \left\{ \begin{array}{cl}
\displaystyle 2x_0=-\frac{b}{a} \\
\displaystyle x^2_0=\frac{c}{a}
\end{array} \right. \]
Nazwa tych wzorów pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka Francois Viète’a (1540 -1603) który podał je w 1591 roku.
Dowód wzoru Viete'a
Wzory Viète’a udowadnia się przyrównując
postać ogólną z postacią iloczynową funkcji kwadratowej.
1)
\(\displaystyle ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\)
wymnażamy postać iloczynową
\(\displaystyle ax^2+bx+c=a(x^2-xx_1-xx_2+x_1x_2)\)
wyciągamy \(x\) przed nawias
\(\displaystyle ax^2+bx+c=a(x^2-x(x_1+x_2)+x_1x_2)\)
wymnażamy wyrażenie przez \(a\)
\(\displaystyle ax^2+bx+c=ax^2-ax(x_1+x_2)+ax_1x_2\)
przyrównujemy współczynniki przy \(x\) i przy wyrazie wolnym
\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{cl}
\displaystyle b=-a(x_1+x_2) \\
\displaystyle c=ax_1x_2
\end{array} \right. \)
przekształcamy wyrażenia
\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{cl}
\displaystyle -\frac{b}{a}=x_1+x_2 \\
\displaystyle \frac{c}{a}=x_1x_2
\end{array} \right. \)
otrzymaliśmy pierwsze wzory Viete'a
2)
\(\displaystyle ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2\)
stosujemy wzór skróconego mnożenia
\(\displaystyle ax^2+bx+c=a(x^2-2xx_o+x^2_0)\)
wymnażamy wyrażenie przez \(a\)
\(\displaystyle ax^2+bx+c=ax^2-2axx_o+ax^2_0\)
przyrównujemy współczynniki przy \(x\) i przy wyrazie wolnym
\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{cl}
\displaystyle b=-2ax_0 \\
\displaystyle c=ax^2_0
\end{array} \right. \)
przekształcamy wyrażenia
\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{cl}
\displaystyle -\frac {b}{2a}=x_0 \\
\displaystyle \frac {c}{a}=x^2_0
\end{array} \right. \)
otrzymaliśmy drugie wzory Viete'a
Twierdzenia
Trójmian kwadratowy \(\displaystyle ax^2+bx+c\) , \(a\neq 0\) posiada:
pierwiastki różnych znaków, gdy
\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{cl}
\Delta >0 \\
x_1x_2\lt 0
\end{array} \right. \)
pierwiastki jednakowych znaków, gdy
\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{cl}
\Delta >0 \\
x_1x_2> 0
\end{array} \right. \)
oba pierwiastki dodatnie, gdy
\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{cl}
\Delta >0 \\
x_1x_2> 0 \\
x_1+x_2> 0
\end{array} \right. \)
oba pierwiastki ujemne, gdy
\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{cl}
\Delta >0 \\
x_1x_2> 0 \\
x_1+x_2 \lt 0
\end{array} \right. \)
W zadaniach maturalnych występuje wiele warunków, które trzeba doprowadzić do takiej postaci, w której będzie już można zastosować podstawowe wzory Viete'a, oto kilka przykładów.
\(\displaystyle x^{2}_{1}+x^{2}_{2}=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)
\(\displaystyle \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}\)
\(\displaystyle (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\)
\(\displaystyle |x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2} = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2}\)
\(\displaystyle \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1x_2)^2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}\)
\(\displaystyle x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)[(x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2]\)
\(\displaystyle x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2x_1^2x_2^2 = [(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2]^2 - 2(x_1x_2)^2\)
WZORY VIETE'A - ZADANIA
Zadanie 1
Dla jakich wartości parametru \(m\) równanie \(\displaystyle x^2+2mx+m+6\) ma dwa różne pierwiastki tego samego znaku.
Rozwiązanie
Zadanie 2
Dla jakich wartości parametru \(m\) równanie \(\displaystyle 2x^2+5x+m-8\) ma dwa pierwiastki o różnych znakach.
Rozwiązanie
Zadanie 3
Dla jakich wartości parametru \(m\) równanie \(\displaystyle x^2-2mx+4-m^2=0\) ma dwa różne pierwiastki i oba są dodatnie.
Rozwiązanie
Zadanie 4
Dla jakich wartości parametru \(m\) równanie \(\displaystyle (m-5)x^2+10x+2=0\) ma dwa różne pierwiastki i oba są ujemne.
Rozwiązanie
