DELTA - WYRÓŻNIK KWADRATOWY
Definicja (Delta - wyróżnik kwadratow)
Wyróżnik kwadratowy - Delta funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+c\) nazywamy liczbę określoną wzorem:
\[\large \Delta=b^2-4ac\]
gdzie:
a, b, c - współszynnikmi liczbowe funkcji kwadratowej
\(a, b, c \in \mathbb{R} \) i \(a\neq 0\)
Poniżej wyprowadzony jest wzór na deltę, postać kononiczną, współżędne wieszchołka paraboli, postać iloczynową i miejsca zerowe funkcji kwadratowej.
\(\displaystyle y=ax^2+bx+c\,\,\,/:a\)
dzielimy naszą funkcję przez wspólczynik \(a\)
\(\displaystyle\frac{y}{a}=x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}\)
do prawej strony funkcji dodajemy "dziwne zero" \(0=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}\)
\(\displaystyle\frac{y}{a}=x^2+\frac{bx}{a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\)
dla trzech pierwszych wyrazów po równości stosujemy wzór skróconego mnożenia \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\)
\(\displaystyle\frac{y}{a}= \left (x+\frac{b}{2a}\right )^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\)
ostatni wyraz mnożymy i dzieimy przez \(4a\) aby uzyskać wspóny mianownik
\(\displaystyle\frac{y}{a}= \left (x+\frac{b}{2a}\right )^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2}\)
ostatnie dwa wyrazy zapisujemy jako jeden ułamek
\(\displaystyle\frac{y}{a}= \left (x+\frac{b}{2a}\right )^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)
w liczniku ostatniego wyrazu otrzymaliśmy naszą szukana deltę \(\Delta=b^2-4ac\)
\(\displaystyle\frac{y}{a}= \left (x+\frac{b}{2a}\right )^2-\frac{\Delta}{4a^2}\)
dalej w naszych równaniach będziemy pisać \( \Delta\) zamiast \( b^2-4ac\)
1) Postać kanoniczna
\(\displaystyle\frac{y}{a}= \left (x+\frac{b}{2a}\right )^2-\frac{\Delta}{4a^2}\,\,\,/a\)
przemnażamy całe równanie przez wspólczyńik \(a\)
\(\displaystyle y= a\left (x+\frac{b}{2a}\right )^2-\frac{\Delta}{4a}\)
podstawiamy \(p=\frac{-b}{2a}\) oraz \(q=\frac{-\Delta}{4a}\) i otrzymujemu:
\(\displaystyle y= a\left (x-p\right )^2+q\)
poostać kanoniczną funkcji kwadratowej. Gdzie \(p\) i \(q\) to współżędne wieżchołka paraboli.
2) Postać iloczynowa 1
\(\displaystyle\frac{y}{a}= \left (x+\frac{b}{2a}\right )^2-\frac{\Delta}{4a^2}\)
ostatni wyraz pierwiastkujemy i podnosimy do kwadratu możemy tak zrobić pod warunkiem, że \(\Delta\geqslant 0\)
\(\displaystyle\frac{y}{a}= \left (x+\frac{b}{2a}\right )^2-\left(\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right )^2\)
stosujemy wzór skróconego mnożenia \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\)
\( \displaystyle\frac{y}{a}= \left(x+\frac{b-\sqrt\Delta}{2a} \right )\left(x+\frac{b+\sqrt\Delta}{2a} \right )\)
zmieniamy znaki z \(+\) na \(-\) za iksami
\( \displaystyle\frac{y}{a}= \left(x-\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a} \right )\left(x-\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a} \right )\,\,\,/a\)
przemnażamy całe równanie przez wspólczyńik \(a\)
\( \displaystyle y= a\left(x-\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a} \right )\left(x-\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a} \right )\)
podstawiamy \(x_1=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\) oraz \(x_2=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\) i otrzymujemy:
\(\displaystyle y= a\left(x-x_1 \right )\left(x-x_2 \right)\)
poostać iloczynową funkcji kwadratowej. Gdzie \(x_1\) i \(x_2\) są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej.
3) Postać iloczynowa 2
\( \displaystyle y= a\left(x-\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a} \right )\left(x-\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a} \right )\)
jesli w tym równaniu \(\Delta= 0\) to
\( \displaystyle y= a\left(x-\frac{-b}{2a} \right )\left(x-\frac{-b}{2a} \right )=a\left(x-\frac{-b}{2a} \right )^2\)
podstawiamy \(x_0=\frac{-b}{2a}\) i otrzymujemy:
\( \displaystyle y= a\left(x-x_0 \right )^2\)
poostać iloczynową funkcji kwadratowej z podwójnym pierwiastkiem \(x_0\)
Uwaga gdy \(\Delta < 0\) to wówczas funkcja nie posiada miejsc zerowych i dla takich przypadków nie istnieje funkcja kwadratowa postaci iloczynowej.
DELTA - WYRÓŻNIK KWADRATOWY - ZADANIA
Zadanie 1
Równanie kwadratowe \(11(x+1)=4(x-2)+5\) przekształć do postaci \(ax^2+bx+c=0\) podaj ile
wynoszą współczyniki \(a\) , \(b\) i \(c\) oraz oblicz ile wynosi delta.
Rozwiązanie
Zadanie 2
Równanie kwadratowe \((y+4)^2=5y+14\) przekształć do postaci \(ay^2+by+c=0\) podaj ile
wynoszą współczynniki \(a\) , \(b\) , \(c\) oraz oblicz ile wynosi delta.
Rozwiązanie
Zadanie 3
Równanie kwadratowe \((3z-2)^2=8(z+1)^2-100\) przekształć do postaci \(az^2+bz+c=0\) podaj ile
wynoszą współczynniki \(a\) , \(b\) , \(c\) oraz oblicz ile wynosi delta.
Rozwiązanie
