Definicja (Dziedzina funkcji)
Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich argumentów funkcji.
DZIEDZINA PRZECIWDZIEDZINA I WARTOŚĆ FUNKCJI
Dziedzinę funkcji oznaczamy najczęściej przez \(X, \, D, \, D_f \)
Jeżeli dziedzina nie jest podana, to za dziedzinę przyjmuje się zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest określona (ma sens).
Przykłady
a) Funkcja \(f(x)=x+1\) jest określona dla każdej liczby \(x\), zatem \(D_f =\mathbb{R}\)
b) Funkcja \(f(x)=\frac1x\) ma sens liczbowy wtedy, gdy \(x\neq0\), czyli \(D_f =\mathbb{R}\setminus\{0\}\)
c) Funkcja \(f(x)=\sqrt{2-x}\) liczba pod pierwiastkiem musi być liczbą nieujemną, czyli \(2-x \geqslant 0\) to \(x\leqslant 2\) a więc \(D_f = \left(-\infty , 2 \right>\)
Definicja (Wartość funkcji)
Wartość funkcji to zbiór na jaki dana funkcja odwzorowuje swoją dziedzinę.
Zbiór wartości oznaczamy najczęściej przez \( W_f \) lub \( ZW_f \).
Definicja (Przeciwdziedzina funkcji)
Przeciwdziedzina funkcji to zbiór, który zawiera zbiór wartości funkcji
Przeciwdziedzinę funkcji oznaczamy najczęściej przez \( Y \)
Ważne:
Przeciwdziedzina nie musi być identyczna ze zbiorem wartości, dlatego przyjmuje się, że zbiór wartości funkcji jest zawsze podzbiorem (właściwym lub niewłaściwym) przeciwdziedziny, co zapisujemy symbolicznie: \(W_f \subseteq Y\).
Przeciwdziedzina nie musi być identyczna ze zbiorem wartości, dlatego przyjmuje się, że zbiór wartości funkcji jest zawsze podzbiorem (właściwym lub niewłaściwym) przeciwdziedziny, co zapisujemy symbolicznie: \(W_f \subseteq Y\).
Przykład 1
Dziedzina to zbiór \(X=\{A,B,C\}\)Przeciwdziedzina to zbiór \(Y=\{1,2,3,4\}\)
Zbiór wartości to zbiór \(W_f=\{1,3\}\)
Zbiór wartości jest podzbiorem przeciwdziedzinie \(W_f \subset Y\)
Przykład 2
Dziedzina to zbiór \(X=\{A,B,C,D\}\)Przeciwdziedzina to zbiór \(Y=\{1,2,3,4\}\)
Zbiór wartości to zbiór \(W_f=\{1,2,3,4\}\)
Zbiór wartości jest równy przeciwdziedzinie \(W_f=Y\)
Definicja (Wartość funkcji)
Jeżeli funkcja jest określona jak w powyższych przykładach wówczas:
Zbiorem wartości funkcji nazywamy zbiór tych elementów \(y\) ze zbioru \(Y\), dla których istnieje przynajmniej jeden argument \(x\) w dziedzinie:
\[W_f=\{y:{\underset{x\in D_f}{\large \exists} }\,\,\,y=f(x)\}\] gdzie:\({\underset{x\in D_f}{\large \exists} }\) czytamy: "istnieje takie \(x\) należącego do dziedziny funkcji"