MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI
Definicja (Funkcja malejąca)
Funkcję \(f\) nazywamy malejącąw zbiorze \(A \subset D_f\), jeżeli dla każdej pary argumentów
\(x_1,x_2 \in A\) takich, że \(x_1< x_2\) wynika nierówność \(f(x_1) > f(x_2)\)
Co możemy zapisać symbolicznie:
\[{\underset{x_1, x_2\in A}{\large \forall}}\,\,\, x_1< x_2 \implies f(x_1)>f(x_2)\]
gdzie:
\({\underset{x_1, x_2\in A}{\large \forall}}\) czytamy: "dla każdego \(x_1\) i \(x_2\) należącego do zbioru \(A\)"
symbol \(\implies\) czytamy: "to"
Interpretacja geometryczna funkcji malejącej
Obrazowo
funkcja jest malejącą, gdy poruszamy się zgodnie ze zwrotem osi X a wykres funkcji
opada.
Definicja (Funkcja rosnąca)
Funkcję \(f\) nazywamy rosnącą w zbiorze \(A \subset D_f\), jeżeli dla każdej pary argumentów
\(x_1,x_2 \in A\) takich, że \(x_1< x_2\) wynika nierówność \(f(x_1) < f(x_2)\)
Zapis symboliczny:
\[{\underset{x_1, x_2\in A}{\large \forall}}\,\,\, x_1< x_2 \implies f(x_1)<f(x_2)\]
Interpretacja geometryczna funkcji rosnącej
Obrazowo
funkcja jest rosnąca, gdy poruszamy się zgodnie ze zwrotem osi X a wykres funkcji
wznosi się.
Definicja (Funkcja stała)
Funkcję \(f\) nazywamy stałą w zbiorze \(A \subset D_f\), jeżeli dla każdej pary argumentów
\(x_1,x_2 \in A\) zachodzi równość \(f(x_1) = f(x_2)\)
Zapis symboliczny:
\[{\underset{x_1, x_2\in A}{\large \forall}}\,\,\, f(x_1) = f(x_2) \]
Interpretacja geometryczna
Wykresem funkcji stałej jest prosta (lub jej fragment) równoległa do osi \(OX\).
Definicja (Funkcja niemalejąca)
Funkcję \(f\) nazywamy niemalejącą w zbiorze \(A \subset D_f\), jeżeli dla każdej pary argumentów \(x_1,x_2 \in A\) takich, że \(x_1< x_2\) wynika nierówność \(f(x_1)\le f(x_2)\)
Zapis symboliczny:
\[{\underset{x_1, x_2\in A}{\large \forall}}\,\,\, x_1 < x_2 \implies f(x_1) \le f(x_2) \]
Interpretacja geometryczna
Wykres funkcji niemalejącej wraz ze wzrostem argumentów nigdy nie opada – może rosnąć lub pozostawać na stałym poziomie.
Definicja (Funkcja nierosnąca)
Funkcję \(f\) nazywamy nierosnącą w zbiorze \(A \subset D_f\), jeżeli dla każdej pary argumentów \(x_1,x_2 \in A\) takich, że \(x_1< x_2\) wynika nierówność \(f(x_1)\ge f(x_2)\)
Zapis symboliczny:
\[{\underset{x_1, x_2\in A}{\large \forall}}\,\,\, x_1 < x_2 \implies f(x_1) \ge f(x_2) \]
Interpretacja geometryczna
Wykres funkcji nierosnącej wraz ze wzrostem argumentów nigdy nie rośnie – może opadać lub pozostawać na stałym poziomie.
Definicja (Funkcja monotoniczna)
Funkcja, która jest rosnąca, malejąca, niemalejąca, nierosnąca albo stała nazywamy funkcją monotoniczną.
Uwaga
Funkcja, która w pewnych przedziałach jest rosnąca lub malejąca nie jest funkcją monotoniczna, funkcję taką nazywamy
niemonotoniczną.
Mówimy w takich przypadkach, że jest funkcją
monotoniczną przedziałami.
Przykłady funkcji niemonotonicznych
Przykład 1
Funkcja kwadratowa \(f(x)=x^2-3\) nie jest niemonotoniczna, gdyż jest malejąca w przedziale \((-\infty, 0 \rangle \) natomiast rosnąca w przedziale \(\langle0,\infty)\)
Przykład 2
Funkcja \(f(x)=x^3-3x\) nie jest niemonotoniczna, jest rosnąca w przedziałach \((-\infty, -1 \rangle \) oraz \(\langle 1,\infty)\) a malejąca w przedziale \(\langle -1,1\rangle\)
MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI - ZADANIA
Zadanie 1
Wykaż z definicji, że funkcja \( f(x) = 4x - 2 \) jest niemalejąca w zbiorze \( \mathbb{R} \).
Rozwiązanie
Zadanie 1
Wykaż, korzystając z definicji, że funkcja \( f(x) = x^2 - 4 \) jest rosnąca w przedziale \( (0, +\infty) \).
Rozwiązanie
Zadanie 1
Wykaż, korzystając z definicji, że funkcja \( f(x) = \frac{2}{x} \) jest malejąca w przedziale \( (0, +\infty) \).
Rozwiązanie
