Funkcja jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy zawsze dla różnych argumentów, wartości funkcji są różne.
Zapis symboliczny definicji
\[{\underset{x_1,x_2\in D_f}{\large \forall} }\,\,[x_1\neq x_2\Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)]\] Co czytamy: Dla każdego \(x_1\,i\,x_2\) należących do dziedziny funkcji, takich, że \(x_1\neq x_2\) to wartości funkcji dla tych argumentów też są różne \(f(x_1)\neq f(x_2)\).
Pierwsza funkcja jest różnowartościowa ponieważ każda prosta równoległa do osi X przecina się z wykresem funkcji tylko jeden raz, natomiast druga już nie jest różnowartościowa, gdyż są takie proste, które przecinają się z wykresem funkcji więcej niż w jednym punkcie, i tak mamy np. \(f(a)=f(b)=f(c)\)
W dowodzeniu równoważności funkcji albo jej braku stosuje się często równoważną formę definicję podaną niżej
Funkcja jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy: \[{\underset{x_1,x_2\in D_f}{\large \forall} }\,\,[f(x_1)= f(x_2)\Rightarrow x_1= x_2 ]\]
Poniżej podany jest związek miedzy monotonicznością i różnowartościowością funkcji.
Jeżeli funkcja jest rosnąca albo malejąca w danym zbiorze, to jest różnowartościowa w tym zbiorze.
(Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa, tzn. nie każda funkcja różnowartościowa musi być monotoniczna, np. funkcja \(f(x)=\frac1x\) dla \(x \neq 0\)).
Po zbadaniu monotoniczności funkcji bardzo często mamy informacje o jej różnowartościowości.
← wstecz Miejsca zerowe funkcji