FUNKCJE PARZYSTE I NIEPARZYSTE
Definicja (Funkcja parzysta)
Funkcję nazywamy parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy zawsze dla przeciwnych argumentów, wartości funkcji są równe.
Co możemy zapisać symbolicznie:
\[{\underset{x\in D_f}{\large \forall}}\,\,\,[-x\in D_f \,\wedge \, f(x)=f(-x)]\]
gdzie:
\({\underset{x\in D_f}{\large \forall}}\) czytamy: "dla każdego \(x\) należącego do dziedziny funkcji"
\(-x\in D_f\) czytamy: " \(-x\) należącego do dziedziny funkcji"
\(\wedge\) czytamy: "i"
Interpretacja geometryczna funkcji parzystej
Funkcja jest parzysta, gdy jej wykres jest symetryczny względem osi \(Y\).
Sprawdźmy parzystość funkcji korzystając z definicji
\[f(x)=x^2-3\]
\[f(-x)=(-x)^2-3=x^2-3\]
Czyli:
\[f(x)=f(-x)\]
Zatem funkcja jest
parzysta
Przykład funkcji parzystych
- funkcje stałe \(f(x)=a\), gdzie \(a \in \mathbb{R}\)
- funkcje potęgowe o parzystym wykładniku \(f(x)=ax^{2n}\) gdzie \(a \in \mathbb{R}\) i \(n\in \mathbb{N}\)
- każda funkcja która jest sumą powyższych funkcji np. \(f(x)=3x^4-2x^2-1\)
Definicja (Funkcja nieparzysta)
Funkcję nazywamy nieparzystą wtedy i tylko wtedy, gdy zawsze dla przeciwnych argumentów, wartości funkcji są przeciwne.
Zapis symboliczny:
\[{\underset{x\in D_f}{\large \forall}}\,\,\, [-x\in D_f \,\wedge \, -f(x)=f(-x)]\]
Interpretacja geometryczna funkcji nieparzystej
Funkcja jest nieparzysta, gdy jej wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.
Sprawdźmy nieparzystość funkcji korzystając z definicji
\[f(x)=x^3-3x\]
\[f(-x)=(-x)^3-3(-x)=-x^3+3x\]
\[-f(x)=-(x^3-3x)=-x^3+3x\]
Czyli:
\[-f(x)=f(-x)\]
Zatem funkcja jest
nieparzysta
Przykład funkcji nieparzystych
- funkcje liniowe \(f(x)=ax\), gdzie \(a \in \mathbb{R}\)
- funkcje potęgowe o nieparzystym wykładniku \(f(x)=ax^{2n-1}\) gdzie \(a \in \mathbb{R}\) i \(n\in \mathbb{N}\)
- każda funkcja która jest sumą powyższych funkcji np. \(f(x)=6x^5-2x^3+2x\)
