MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI - ZADANIA
Zadanie
Wykaż z definicji, że funkcja \( f(x) = 4x - 2 \) jest niemalejąca w zbiorze \( \mathbb{R} \).
Rozwiązanie
Zakładamy, że mamy dwa dowolne argumenty \( x_1, x_2 \in \mathbb{R} \), które spełniają warunek:\( x_1 \lt x_2 \), co po przekształceniu daje \( x_1 - x_2 \lt 0 \)
Zapisujemy wartości funkcji dla tych argumentów:
\( f(x_1) = 4x_1 - 2 \)
\( f(x_2) = 4x_2 - 2 \)
Aby wykazać, że funkcja jest niemalejąca, badamy różnicę wartości \( f(x_1) - f(x_2) \):
\( f(x_1) - f(x_2) = (4x_1 - 2) - (4x_2 - 2) \)
\( f(x_1) - f(x_2) = 4x_1 - 2 - 4x_2 + 2 \)
\( f(x_1) - f(x_2) = 4(x_1 - x_2) \)
\( f(x_1) - f(x_2) = (4x_1 - 2) - (4x_2 - 2) \)
\( f(x_1) - f(x_2) = 4x_1 - 2 - 4x_2 + 2 \)
\( f(x_1) - f(x_2) = 4(x_1 - x_2) \)
Określamy znak otrzymanego wyrażenia:
Z założenia wiemy, że \( x_1 - x_2 \lt 0 \). Mnożąc tę ujemną liczbę przez dodatnią czwórkę, otrzymujemy:
\( 4(x_1 - x_2) \lt 0 \)
Skoro \( f(x_1) - f(x_2) \lt 0 \), to \( f(x_1) \lt f(x_2) \).
Z założenia wiemy, że \( x_1 - x_2 \lt 0 \). Mnożąc tę ujemną liczbę przez dodatnią czwórkę, otrzymujemy:
\( 4(x_1 - x_2) \lt 0 \)
Skoro \( f(x_1) - f(x_2) \lt 0 \), to \( f(x_1) \lt f(x_2) \).
Odpowiedź
Ponieważ dla dowolnych \( x_1, x_2 \in \mathbb{R} \) takich, że \( x_1 \lt x_2 \) zachodzi \( f(x_1) \lt f(x_2) \), to funkcja \( f(x)= 4x - 2 \) jest niemalejąca.