MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI - ZADANIA
Zadanie
Wykaż, korzystając z definicji, że funkcja \( f(x) = x^2 - 4 \) jest rosnąca w przedziale \( (0, +\infty) \).
Rozwiązanie
Zakładamy, że mamy dwa dowolne argumenty \( x_1, x_2 \) należące do przedziału \( (0, +\infty) \), takie że:\( x_1 \lt x_2 \), co oznacza, że \( x_1 - x_2 \lt 0 \)
Zapisujemy wartości funkcji dla tych argumentów:
\( f(x_1) = x_1^2 - 4 \)
\( f(x_2) = x_2^2 - 4 \)
Badamy różnicę wartości funkcji \( f(x_1) - f(x_2) \):
\( f(x_1) - f(x_2) = (x_1^2 - 4) - (x_2^2 - 4) \)
\( f(x_1) - f(x_2) = x_1^2 - 4 - x_2^2 + 4 \)
\( f(x_1) - f(x_2) = x_1^2 - x_2^2 \)
\( f(x_1) - f(x_2) = (x_1^2 - 4) - (x_2^2 - 4) \)
\( f(x_1) - f(x_2) = x_1^2 - 4 - x_2^2 + 4 \)
\( f(x_1) - f(x_2) = x_1^2 - x_2^2 \)
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:
\( f(x_1) - f(x_2) = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) \)
Określamy znak poszczególnych czynników:
Z założenia \( x_1 - x_2 \lt 0 \).
Ponieważ \( x_1, x_2 \in (0, +\infty) \), to obie liczby są dodatnie, więc ich suma \( x_1 + x_2 > 0 \).
\( f(x_1) - f(x_2) = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) \)
Określamy znak poszczególnych czynników:
Z założenia \( x_1 - x_2 \lt 0 \).
Ponieważ \( x_1, x_2 \in (0, +\infty) \), to obie liczby są dodatnie, więc ich suma \( x_1 + x_2 > 0 \).
Wyciągamy wniosek co do znaku całej różnicy:
Iloczyn liczby ujemnej i dodatniej jest liczbą ujemną:
\( (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) \lt 0 \implies f(x_1) - f(x_2) \lt 0 \)
Zatem \( f(x_1) \lt f(x_2) \).
Iloczyn liczby ujemnej i dodatniej jest liczbą ujemną:
\( (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) \lt 0 \implies f(x_1) - f(x_2) \lt 0 \)
Zatem \( f(x_1) \lt f(x_2) \).
Odpowiedź
Wykazaliśmy, że dla dowolnych \( x_1, x_2 \in (0, +\infty) \) takich, że \( x_1 \lt x_2 \), zachodzi warunek \( f(x_1) \lt f(x_2) \).
Funkcja \( f(x) = x^2 - 4 \) jest więc w tym przedziale rosnąca.