MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI - ZADANIA
Zadanie
Wykaż, korzystając z definicji, że funkcja \( f(x) = \frac{2}{x} \) jest malejąca w przedziale \( (0, +\infty) \).
Rozwiązanie
Zakładamy, że mamy dwa dowolne argumenty \( x_1, x_2 \in (0, +\infty) \), takie że:\( x_1 \lt x_2 \), czyli \( x_1 - x_2 \lt 0 \)
Zapisujemy wartości funkcji dla tych argumentów:
\( f(x_1) = \frac{2}{x_1} \) oraz \( f(x_2) = \frac{2}{x_2} \)
Badamy różnicę wartości funkcji \( f(x_1) - f(x_2) \), sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika:
\( f(x_1) - f(x_2) = \frac{2}{x_1} - \frac{2}{x_2} = \frac{2x_2}{x_1 x_2} - \frac{2x_1}{x_1 x_2} \)
\( f(x_1) - f(x_2) = \frac{2x_2 - 2x_1}{x_1 x_2} = \frac{-2(x_1 - x_2)}{x_1 x_2} \)
\( f(x_1) - f(x_2) = \frac{2}{x_1} - \frac{2}{x_2} = \frac{2x_2}{x_1 x_2} - \frac{2x_1}{x_1 x_2} \)
\( f(x_1) - f(x_2) = \frac{2x_2 - 2x_1}{x_1 x_2} = \frac{-2(x_1 - x_2)}{x_1 x_2} \)
Określamy znak otrzymanego wyrażenia:
Z założenia \( x_1 - x_2 \lt 0 \), więc licznik \( -2(x_1 - x_2) \) jest dodatni (\(> 0 \)).
Mianownik \( x_1 x_2 \) jest dodatni, ponieważ oba argumenty są większe od zera.
Iloraz dwóch liczb dodatnich jest dodatni:
\( \frac{-2(x_1 - x_2)}{x_1 x_2} > 0 \implies f(x_1) - f(x_2) > 0 \)
Z założenia \( x_1 - x_2 \lt 0 \), więc licznik \( -2(x_1 - x_2) \) jest dodatni (\(> 0 \)).
Mianownik \( x_1 x_2 \) jest dodatni, ponieważ oba argumenty są większe od zera.
Iloraz dwóch liczb dodatnich jest dodatni:
\( \frac{-2(x_1 - x_2)}{x_1 x_2} > 0 \implies f(x_1) - f(x_2) > 0 \)
Odpowiedź
Ponieważ wynik różnicy \( f(x_1) - f(x_2) >0 \), to \( f(x_1) > f(x_2) \). Zatem dla każdego \( x_1 \lt x_2 \) zachodzi warunek \( f(x_1) \ge f(x_2) \), co oznacza, że funkcja jest malejąca.