KOMBINACJE - ZADANIA
Zadanie 9
Dany jest zbiór trzynastu liczb {1,2,3,4,5,...,13}, z którego losujemy jednocześnie dwie liczby.
Ile jest wszystkich różnych sposobów wylosowania z tego zbioru dwóch liczb, których iloczyn jest liczbą parzystą?
Rozwiązanie sposób 1
Iloczyn dwóch liczb jest parzysty, gdy co najmniej jedna z nich jest parzysta.W zbiorze {1,2,...,13} mamy 6 liczb parzystych (2,4,6,8,10,12) oraz 7 liczb nieparzystych (1,3,5,7,9,11,13).
Możemy zatem wylosować: 1 liczbę parzystą i 1 nieparzystą LUB 2 liczby parzyste.
\(C_{6}^{1} \cdot C_{7}^{1} + C_{6}^{2} \cdot C_{7}^{0} =
\binom{6}{1} \cdot \binom{7}{1} + \binom{6}{2} \cdot \binom{7}{0} =\)
\(= 6 \cdot 7 + 15 \cdot 1 = 42 + 15 = 57\)
\(= 6 \cdot 7 + 15 \cdot 1 = 42 + 15 = 57\)
Rozwiązanie sposób 2
Warto sprawdzić, czy nie będzie prościej policzyć zdarzenia przeciwne.Iloczyn jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie wylosowane liczby są nieparzyste.
Od wszystkich możliwych kombinacji odejmiemy te, które dają wynik nieparzysty.
Najpierw obliczamy wszystkie możliwe zdarzenia (losujemy 2 liczby z 13):
\(C_{13}^{2} = \binom{13}{2} = \frac{13 \cdot 12}{2} = 78\)
\(C_{13}^{2} = \binom{13}{2} = \frac{13 \cdot 12}{2} = 78\)
Obliczamy zdarzenie przeciwne (losujemy 2 liczby z 7 nieparzystych):
\(C_{7}^{2} = \binom{7}{2} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21\)
\(C_{7}^{2} = \binom{7}{2} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21\)
Na końcu obliczamy zdarzenia sprzyjające:
\(78 - 21 = 57\)
Uwaga: Wynik jest identyczny jak w sposobie 1, co potwierdza poprawność obliczeń.
\(78 - 21 = 57\)
Uwaga: Wynik jest identyczny jak w sposobie 1, co potwierdza poprawność obliczeń.
Odpowiedź
Istnieje 57 sposobów na wylosowanie liczb, których iloczyn jest parzysty.