KOMBINACJE - ZADANIA
Zadanie 8
W Kaszubskiej grze w karty o nazwie "Baśka", 16 kart rozdaje się czterem graczom siedzącym przy stole. Każdy z graczy otrzymuje po 4 karty.A) Ile jest podzbiorów 4-elementowych ze zbioru 16 kart?
B) Na ile sposobów można rozdać karty między graczy?
Rozwiązanie
Z 16 kart tworzymy 4-elementowe podzbiory. Każdy gracz otrzymuje jeden taki zestaw.
Liczba wszystkich możliwych podzbiorów 4-elementowych (kombinacji) ze zbioru 16 kart wynosi:
\(\displaystyle C_{16}^4 = \binom{16}{4} = \frac{16!}{4!(16-4)!} = 1820\)
W grze Baśka karty można rozdawać pojedynczo lub po dwie, ale nie zmienia to liczby sposobów ich rozdania,
jeśli ostateczny podział następuje po cztery karty. Przyjmujemy, że gracze zajmują określone miejsca przy stole:
Pierwszy gracz otrzymuje 4 karty z 16, drugi 4 z pozostałych 12, trzeci 4 z 8, a czwarty pozostałe 4 karty. Zdarzenia te są połączone, więc stosujemy zasadę mnożenia: \(\displaystyle C_{16}^4\cdot C_{12}^4\cdot C_{8}^4\cdot C_{4}^4=\binom{16}{4}\cdot\binom{12}{4}\cdot\binom{8}{4}\cdot\binom{4}{4}=\) \(\displaystyle 1820\cdot495\cdot70\cdot1=63 063 000\)
Analiza procesu: Zauważmy, że jak będziemy wybierać karty dla drugiego gracza, 4 kart z 12 to wybierzemy też jeden z 1820 podzbiorów, który mógłby wybrać pierwszy gracz ale z powodu, że 4-ech kart jest już mniej liczba podzbiorów zmniejszyła się o 1325 do 495, tak sama sytuacja będzie dla gracza trzeciego ten już będzie miał wybór z pozostałych 70 podzbiorów. Ostatniemu graczowi pozostanie 1 podzbiór z 1820 które były na początku. Ponieważ przydziały są ze sobą powiązane, mnożymy te wartości, aby uzyskać łączną liczbę sposobów rozdzielenia kart.
Pierwszy gracz otrzymuje 4 karty z 16, drugi 4 z pozostałych 12, trzeci 4 z 8, a czwarty pozostałe 4 karty. Zdarzenia te są połączone, więc stosujemy zasadę mnożenia: \(\displaystyle C_{16}^4\cdot C_{12}^4\cdot C_{8}^4\cdot C_{4}^4=\binom{16}{4}\cdot\binom{12}{4}\cdot\binom{8}{4}\cdot\binom{4}{4}=\) \(\displaystyle 1820\cdot495\cdot70\cdot1=63 063 000\)
Analiza procesu: Zauważmy, że jak będziemy wybierać karty dla drugiego gracza, 4 kart z 12 to wybierzemy też jeden z 1820 podzbiorów, który mógłby wybrać pierwszy gracz ale z powodu, że 4-ech kart jest już mniej liczba podzbiorów zmniejszyła się o 1325 do 495, tak sama sytuacja będzie dla gracza trzeciego ten już będzie miał wybór z pozostałych 70 podzbiorów. Ostatniemu graczowi pozostanie 1 podzbiór z 1820 które były na początku. Ponieważ przydziały są ze sobą powiązane, mnożymy te wartości, aby uzyskać łączną liczbę sposobów rozdzielenia kart.
Dodatkowe informacje
Wynik 63 063 000 dotyczy sytuacji, w której gracze są rozróżnialni (siedzą na konkretnych miejscach przy stole).
Gdybyśmy dzielili karty na 4 bezimienne stosy (paczki), wynik należałoby podzielić przez liczbę ich permutacji, czyli \(4! = 24\).
Odpowiedź
W grze Baśka istnieje 1820 możliwości wyboru zestawu 4 kart oraz 63 063 000 sposobów ich rozdzielenia między czterech graczy siedzących przy stole.