PERMUTACJE Z POWTÓRZENIAMI - ZADANIA

Z pierwszego multizbioru możemy utworzyć ciągów: \(P_5^{1,4}\)
Z drugiego multizbioru możemy utworzyć ciągów: \(P_5^{1,1,3}\)
Z trzeciego multizbioru możemy utworzyć ciągów: \(P_5^{3,2}\)

Korzystamy ze wzoru \(\displaystyle P_{n}^{n_1,n_2,\cdots, n_k}=\frac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdot...\cdot n_k!}\)

1) Podstawiając dane do wzoru z pierwszego multizbioru otrzymujemy \(\displaystyle P_{5}^{1,4}=\frac{5!}{1!\cdot 4!}=5\)
Wszystkie możliwe ciągi to: \[(8, 1, 1, 1,1)\ (1,8, 1, 1,1)\ (1, 1, 8, 1,1)\ (1, 1, 1, 8,1)\ (1, 1, 1, 1,8)\]

2) Podstawiamy do wzoru dane z drugiego multizbioru otrzymujemy \(\displaystyle P_{5}^{1,1,3}=\frac{5!}{1!\cdot 1!\cdot3!}=20\)
Wszystkie możliwe ciągi to: \[(4,2,1,1,1)\ (4,1,2,1,1)\ (4,1,1,2,1)\ (4,1,1,1,2)\ (1,4,2,1,1)\] \[(2,4,1,1,1)\ (2,1,4,1,1)\ (2,1,1,4,1)\ (2,1,1,1,4)\ (1,2,4,1,1)\] \[(1,4,1,2,1)\ (1,4,1,1,2)\ (1,1,4,2,1)\ (1,1,4,1,2)\ (1,1,1,4,2)\] \[(1,2,1,4,1)\ (1,2,1,1,4)\ (1,1,2,4,1)\ (1,1,2,1,4)\ (1,1,1,2,4)\]

3) Podstawiamy do wzoru dane z trzeciego multizbioru otrzymujemy \(\displaystyle P_{5}^{3,2,}=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10\)
Wszystkie możliwe ciągi to: \[(2,2,2,1,1)\ (2,2,1,2,1)\ (2,2,1,1,2)\ (2,1,2,2,1)\ (2,1,2,1,2)\] \[(2,1,1,2,2)\ (1,2,2,2,1)\ (1,2,2,1,2)\ (1,2,1,2,2)\ (1,1,2,2,2)\]

Sumując wyniki otrzymujemy szukaną ilość liczb \(\displaystyle P_{5}^{1,4} + P_5^{1,1,3} + P_5^{3,2} = 5+20+10=35\)