SYMBOLE NEWTONA, WZÓR DWUMIANOWY, TRÓJKĄT PASCALA - ZADANIA
Zadanie 2
Wyznacz dziewiąty wyraz rozwinięcia \((3x+2)^{11}\).
Rozwiązanie
Krok 1. Wzór Newtona dla rozwinięcia dwumianu:\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Podstawiamy
\(a = 3x\), \(b = 2\),
\(n = 11\),
dziewiąty wyraz oznacza \(k = 8\) (liczymy od \(k = 0\)).
Krok 2. Wzór na dany wyraz rozwinięcia dwumianu
Ogólny wzór:
\(\displaystyle C_{k+1}=\binom{n}{k} a^{n-k} b^k\)
Dziewiąty wyraz w naszym zadaniu:
\(\displaystyle C_9 = \binom{11}{8} (3x)^{11-8} \cdot 2^8\)
\(\displaystyle C_{k+1}=\binom{n}{k} a^{n-k} b^k\)
Dziewiąty wyraz w naszym zadaniu:
\(\displaystyle C_9 = \binom{11}{8} (3x)^{11-8} \cdot 2^8\)
Krok 3. Obliczenia
1. Symbol Newtona: \(\binom{11}{8} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 165\)
2. Potęgi: \((3x)^3 = 27x^3\), \(2^8 = 256\)
3. Mnożenie: \(C_9 = 165 \cdot 27x^3 \cdot 256 = 1140480x^3\)
1. Symbol Newtona: \(\binom{11}{8} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 165\)
2. Potęgi: \((3x)^3 = 27x^3\), \(2^8 = 256\)
3. Mnożenie: \(C_9 = 165 \cdot 27x^3 \cdot 256 = 1140480x^3\)
Odpowiedź
Dziewiąty wyraz rozwinięcia \((3x+2)^{11}\) to \(C_9 = 1140480x^3\).