SYMBOL NEWTONA, WZÓR NEWTONA, TRÓJKĄT PASCALA

Definicja (Symbol Newtona)

Symbol Newtona nazywamy wyrażenie określone wzorem :

\[\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}\]

gdzie \(n\) i \(k\) są liczbami naturalnymi, które spełniają warunek \(0\leqslant k\leqslant n\) wyrażenie \(\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\) czytamy "n po k" lub "n nad k"

Przykład

\[\displaystyle\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}=\frac{5!}{2!\cdot(5-2)!}=\frac{5!}{1\cdot2\cdot3!}=\frac{\not3!\cdot\not4^2\cdot5}{\not2\cdot\not3!}=10\]

Twierdzenie Własności symbolu Newtona

\(\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}=1\)

\(\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}=1\)

\(\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}=n\)

Twierdzenie Wzór Newtona lub Dwumian Newtona

Wzór Newtona opisuje rozwinięcie potęgi sumy dla liczby naturalnej \(n>1\) i jest zapisany jako:

\[ (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} a^{n-k} b^k \]

Rozwinięcie tego wzoru dla \(n\) zawiera \(n+1\) wyrazów.
Poniżej przedstawiamy trzy pierwsze i dwa ostatnie wyrazy:

\( (a+b)^n = \begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix} a^n + \begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix} a^{n-1} b + \)\(\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix} a^{n-2} b^2 + \dots + \begin{pmatrix}n\\n-1\end{pmatrix} a b^{n-1} + \begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix} b^n \)

\(\displaystyle\sum_{k=0}^n\) - ozancza sumę wszystkich składników od \(k=0\) do \(n\)

Przykład

Rozwińmy \((a + b)^3\), korzystając z wzoru Newtona:

\[(a + b)^3 = \sum_{k=0}^3 \begin{pmatrix}3\\k\end{pmatrix} a^{3-k} b^k\]

Tworzymy sumy wyrazów zaczynając od \(k=0\) potem \(k=1, k=2\) i na końcu \(k=3\) otrzymujemy:

\((a + b)^3 = \begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix} a^{3-0}b^0 + \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} a^{3-1} b^1 + \)\(\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix} a^{3-2} b^2+ \begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix} a^{3-3} b^3=\)

\(\displaystyle\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix} =\frac{3!}{0!\cdot(3-0)!}=\frac{\not3!}{1\cdot \not3!}= 1\)

\(\displaystyle\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} =\frac{3!}{1!\cdot(3-1)!}=\frac{3!}{1\cdot 2!}= \frac{\not2\cdot3}{\not2}=3\)

\(\displaystyle\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix} =\frac{3!}{2!\cdot(3-2)!}=\frac{3!}{2!\cdot 1}= \frac{\not2\cdot3}{\not2}= 3\)

\(\displaystyle\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix} = \frac{3!}{3!\cdot(3-3)!}=\frac{\not3!}{\not3!\cdot 0!}= 1\)
\[(a + b)^3 = 1\cdot a^3 + 3\cdot a^2b + 3\cdot ab^2 + 1\cdot b^3 \]

Ostateczny wynik to:

\[(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\]

Poszczególne Symbole Newtona można łatwo obliczyć, korzystając z Trójkąta Pascala

Definicja (Trójkąt Pascala)

Trójkąt Pascala to trójkątny układ liczb, w którym każda liczba (oprócz skrajnych jedynek) jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią.

Poniżej wygląd trójkąt Pascala do \(n=6\)


  n=0              1
  n=1            1   1
  n=2          1   2   1
  n=3        1   3   3   1
  n=4      1   4   6   4   1
  n=5     1  5  10   10  5  1
  n=6    1  6  15  20  15  6  1

Niektóre własności Trójkąta Pascala

1) Współczyniki dwumianu
Wiersz \(n\) reprezentuje współczynniki rozwinięcia dwumianu \((a+b)^n\)
Przykład, wiersz \(n=2\) : \(1, 2, 1 \to (a+b)^2= a^2+2ab+b^2\)

Przykład, wiersz \(n=4\) : \(1, 4, 6, 4, 1 \to (a+b)^4= a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\)

2) Symetria.
Każdy wiersz trójkąta Pascala jest symetryczny względem środka.
\(\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\n-k\end{pmatrix}\) Wartości w pozycji k od lewej są równe wartościom w pozycji k od prawej

3) Wartości na brzegu
Pierwszy i ostatni element każdego wiersza wynosi 1, bo w każdym wierszu \(\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}= 1\)

4) Wartości liczb w trójkącie
Każdy liczba w trójkącie Pascala to wartość \(\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\), gdzie \(n\) to numer wiersza (licząc od zera), a \(k\) to numer pozycji w wierszu.

5) Każda liczba w środku jest sumą dwóch liczb powyżej
\(\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n+1\\k+1\end{pmatrix}\) Każdy współczynnik rozwinięcia oprócz jedynek na brzegach jest sumą dwóch współczynników w trójkącie Pascala znajdujących się bezpośrednio nad nim.

6) Suma elementów w wierszu.
Suma elementów wiersza \(n\) wynosi \(2^n\)

Przykład wiersz \(n=4\) : \(1+4+6+4+1=16=2^4\)
\(2^n\) jest to liczba wszyskich możliwych podzbiorów zbioru n-elementowego, liczba ta wynika z interpretacji kombinacji
W naszym przykładzie mamy:
\(\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}=1\) - jeden zbiór który nie ma elelmentów, czyli zbiór pusty
\(\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}=4\) - cztery zbióry jednoelelmentowe
\(\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}=6\) - sześć zbiorów dwuelementowych
\(\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}=4\) - cztery zbióry trzyelementowe
\(\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}=1\) - jeden zbiór czteroelementowy
Możemy zapisać - \(\displaystyle\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=2^n\)

7) Podzielność przez liczby pierwsze
W wierszu p (gdzie p to liczba pierwsza) wszystkie liczby poza 1 są podzielne przez p

Przykład dla wiersza \(n=7\) : \(1, 7, 21, 35, 21, 7, 1\) , liczba pierwsza \(p=7\)
\(\frac{21}{7}=3\), \(\frac{35}{7}=5\)

SYMBOL NEWTONA, WZÓR NEWTONA, TRÓJKĄT PASCALA - ZADANIA

Zadanie 1

Oblicz : a) \(\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\) b) \(\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\) c) \(\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\) d) \(\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\) e) \(\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\)

Rozwiązanie

Zadanie 2

Wyznacz dziewiąty wyraz rozwinięcia \((3x+2)^{11}\).

Rozwiązanie

Zadanie 3

Wyznacz środkowy wyraz rozwinięcia \((2x-1)^{10}\).

Rozwiązanie

Zadanie 4

Środkowy wyraz rozwinięcia \(\left(\frac{x}{3} + a\right)^{12}\) jest równy \(924x^6\). Oblicz \(a\).

Rozwiązanie

Zadanie 5

Suma współczynników czterech początkowych wyrazów rozwinięcia \((x+1)^n\) jest równa \(29n + 1\). Oblicz \(n\).

Rozwiązanie