SYMBOLE NEWTONA, WZÓR DWUMIANOWY, TRÓJKĄT PASCALA - ZADANIA
Zadanie 3
Wyznacz środkowy wyraz rozwinięcia \((2x-1)^{10}\).
Rozwiązanie
Krok 1. Znalezienie indeksu środkowego wyrazu:Rozwinięcie dwumianu \((a+b)^n\) ma \(n+1\) wyrazów. Dla \(n=10\), liczba wyrazów wynosi \(11\).
Środkowy wyraz, to 6 wyraz, znajduje się on dla \(k = 5\) (liczymy od \(k=0\)).
Krok 2. Wzór na dany wyraz rozwinięcia dwumianu:
Ogólny wzór:
\[C_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\]
Podstawiamy do wzoru:
\(a = 2x\), \(b = -1\), \(n = 10\), \(k = 5\):
\[C_6 = \binom{10}{5} (2x)^{10-5} \cdot (-1)^5\]
Ogólny wzór:
\[C_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\]
Podstawiamy do wzoru:
\(a = 2x\), \(b = -1\), \(n = 10\), \(k = 5\):
\[C_6 = \binom{10}{5} (2x)^{10-5} \cdot (-1)^5\]
Krok 3. Obliczenia:
1. Symbol Newtona: \(\binom{10}{5} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252\)
2. Potęgi: \((2x)^5 = 32x^5\), \((-1)^5 = -1\)
3. Mnożenie: \(C_6 = 252 \cdot 32x^5 \cdot (-1) = -8064x^5\)
1. Symbol Newtona: \(\binom{10}{5} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252\)
2. Potęgi: \((2x)^5 = 32x^5\), \((-1)^5 = -1\)
3. Mnożenie: \(C_6 = 252 \cdot 32x^5 \cdot (-1) = -8064x^5\)
Odpowiedź
Środkowy wyraz rozwinięcia \((2x-1)^{10}\) to \(C_6 = -8064x^5\).