SYMBOLE NEWTONA, WZÓR DWUMIANOWY, TRÓJKĄT PASCALA - ZADANIA
Zadanie 4
Suma współczynników czterech początkowych wyrazów rozwinięcia \((x+1)^n\) jest równa \(29n + 1\). Oblicz \(n\).
Rozwiązanie
Krok 1. Zrozumienie zadaniaWspółczynniki czterech początkowych wyrazów to: \( \binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \binom{n}{2}, \binom{n}{3} \)
Suma tych współczynników to:
\(\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \binom{n}{3}\)
Z treści zadania wiemy, że suma wynosi \(29n + 1\)
\(\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \binom{n}{3} = 29n + 1\)
Krok 2. Podstawienie wzorów
\(\binom{n}{0} = 1, \, \binom{n}{1} = n, \, \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}, \, \binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}\)
Suma współczynników:
\[ 1 + n + \frac{n(n-1)}{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 29n + 1 \]
\(\binom{n}{0} = 1, \, \binom{n}{1} = n, \, \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}, \, \binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}\)
Suma współczynników:
\[ 1 + n + \frac{n(n-1)}{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 29n + 1 \]
Krok 3. Rozwiązanie równania
Pomnożymy równanie przez \(6\), aby pozbyć się mianowników:
\[ 6 \cdot 1 + 6n + 3n(n-1) + n(n-1)(n-2) = 6(29n + 1) \]
\[ 6 \cdot 1 + 6n + 3n(n-1) + n(n-1)(n-2) = 6(29n + 1) \]
Grupujemy wyrazy podobne:
\(\displaystyle 6 + 6n + 3n^2 - 3n + n^3 - 3n^2 + 2n = 174n + 6\)
\(n^3 + 5n + 6 = 174n + 6\)
\(\displaystyle 6 + 6n + 3n^2 - 3n + n^3 - 3n^2 + 2n = 174n + 6\)
\(n^3 + 5n + 6 = 174n + 6\)
Przenosimy wyrazy na lewą stronę:
\(n^3 + 5n + 6 - 174n - 6 = 0\)
\(n^3 - 169n = 0\)
\(n^3 + 5n + 6 - 174n - 6 = 0\)
\(n^3 - 169n = 0\)
Wyciągamy \(n\) przed nawias:
\(n(n^2 - 169) = 0\)
\(n(n^2 - 169) = 0\)
Rozkładamy różnicę kwadratów:
\(n(n - 13)(n + 13) = 0\)
\(n(n - 13)(n + 13) = 0\)
Rozwiązania to \(n = 0\), \(n = 13\), \(n = -13\). Ponieważ \(n\) jest liczbą naturalną i \(n>1\) , prawidłowe rozwiązanie to \(n = 13\).
Odpowiedź
Wartość \(n\) wynosi 13.