SYMBOLE NEWTONA, WZÓR DWUMIANOWY, TRÓJKĄT PASCALA - ZADANIA
Zadanie 4
Środkowy wyraz rozwinięcia \(\left(\frac{x}{3} + a\right)^{12}\) jest równy \(924x^6\). Oblicz \(a\).
Rozwiązanie
Krok 1. Znalezienie indeksu środkowego wyrazu:
Rozwinięcie dwumianu \((a+b)^n\) ma \(n+1\) wyrazów. Dla \(n=12\), liczba wyrazów wynosi \(13\).Środkowy wyraz, to 7 wyraz, znajduje się on dla \(k = 6\) (liczymy od \(k=0\)).
Krok 2. Wzór na dany wyraz rozwinięcia dwumianu:
Ogólny wzór:
\[C_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\]
Podstawiamy do wzoru:
\(a = \frac{x}{3}\), \(b = a\), \(n = 12\), \(k = 6\):
\(\displaystyle C_7 = \binom{12}{6} \left(\frac{x}{3}\right)^{12-6} \cdot a^6\)
\[C_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\]
Podstawiamy do wzoru:
\(a = \frac{x}{3}\), \(b = a\), \(n = 12\), \(k = 6\):
\(\displaystyle C_7 = \binom{12}{6} \left(\frac{x}{3}\right)^{12-6} \cdot a^6\)
Krok 3. Wyznaczenie wartości \(a\):
1. Symbol Newtona: \(\binom{12}{6} = 924\)
2. Potęgi: \(\left(\frac{x}{3}\right)^6 = \frac{x^6}{729}\)
3. Siódmy wyraz: \(C_7 = 924x^6\)
4. Podstawiamy do wzoru: \(C_7 = \binom{12}{6} \left(\frac{x}{3}\right)^{12-6} \cdot a^6\)
\(\displaystyle 924x^6 =924 \cdot \frac{x^6}{729} \cdot a^6\,\,\,\,/:924\)
\(\displaystyle x^6 = \cdot \frac{x^6}{729} \cdot a^6\,\,\,\,/:x^6\)
\(\displaystyle 1 = \frac{1}{729} \cdot a^6\)
\(\displaystyle 1 = \frac{a^6}{729}\)
\(\displaystyle a^6 = 729\)
\(\displaystyle a = \sqrt[6]{729} \)
\(a=3\) lub \(a = -3\)
Zarówno dodatnia, jak i ujemna wartość \(a\) dadzą poprawne wyniki, ponieważ potęga parzysta \((k=6)\) w równaniu \((\frac{x}{3}+a)^6\) sprawia, że znak \(a\) nie wpływa na końcową wartość.
2. Potęgi: \(\left(\frac{x}{3}\right)^6 = \frac{x^6}{729}\)
3. Siódmy wyraz: \(C_7 = 924x^6\)
4. Podstawiamy do wzoru: \(C_7 = \binom{12}{6} \left(\frac{x}{3}\right)^{12-6} \cdot a^6\)
\(\displaystyle 924x^6 =924 \cdot \frac{x^6}{729} \cdot a^6\,\,\,\,/:924\)
\(\displaystyle x^6 = \cdot \frac{x^6}{729} \cdot a^6\,\,\,\,/:x^6\)
\(\displaystyle 1 = \frac{1}{729} \cdot a^6\)
\(\displaystyle 1 = \frac{a^6}{729}\)
\(\displaystyle a^6 = 729\)
\(\displaystyle a = \sqrt[6]{729} \)
\(a=3\) lub \(a = -3\)
Zarówno dodatnia, jak i ujemna wartość \(a\) dadzą poprawne wyniki, ponieważ potęga parzysta \((k=6)\) w równaniu \((\frac{x}{3}+a)^6\) sprawia, że znak \(a\) nie wpływa na końcową wartość.
Odpowiedź
Wartość \(a\) wynosi \(3\) lub \(a = -3\).