WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI - ZADANIA
Zadanie 10
Hasło do systemu ma mieć długość 6 znaków i musi składać się dokładnie z 4 liter ze zbioru
\(\{a,b,c,d,e,f\}\) oraz 2 cyfr ze zbioru \(\{0,1,2,3\}\).
Litery i cyfry mogą być rozmieszczone w dowolnej kolejności i mogą się powtarzać.
Na ile sposobów można utworzyć takie hasło?
Rozwiązanie
Zadanie składa się z czterech etapów:1. Wybór i uporządkowanie 4 liter ze zbioru 6-elementowego.
2. Wybór i uporządkowanie 2 cyfr ze zbioru 4-elementowego.
3. Wyznaczenie liczby sposobów ułożenia tych 4 liter i 2 cyfr na 6 pozycjach.
4. Wymnożyć otrzymane wyniki (reguła mnożenia)
Krok 1: Liczba sposobów wyboru liter
Ponieważ litery mogą się powtarzać i mamy 4 pozycje do wypełnienia z 6 dostępnych liter \( \{a,b,c,d,e,f\}\), jest to wariacja z powtórzeniami \(W_{6}^4\)
\(\displaystyle W_{6}^4 = 6^4 = 1296\)
Ponieważ litery mogą się powtarzać i mamy 4 pozycje do wypełnienia z 6 dostępnych liter \( \{a,b,c,d,e,f\}\), jest to wariacja z powtórzeniami \(W_{6}^4\)
\(\displaystyle W_{6}^4 = 6^4 = 1296\)
Krok 2: Liczba sposobów wyboru cyfr
Ponieważ cyfry mogą się powtarzać i mamy 2 pozycje do wypełnienia z 4 dostępnych cyfr \(\{0,1,2,3\}\), jest to wariacja z powtórzeniami \(W_{4}^2\).
\(\displaystyle W_{4}^2 = 4^2 = 16\)
Ponieważ cyfry mogą się powtarzać i mamy 2 pozycje do wypełnienia z 4 dostępnych cyfr \(\{0,1,2,3\}\), jest to wariacja z powtórzeniami \(W_{4}^2\).
\(\displaystyle W_{4}^2 = 4^2 = 16\)
Krok 3: Liczba sposobów rozmieszczenia znaków
Musimy ustalić, na ile sposobów można umieścić 4 litery (L) i 2 cyfry (C) w 6-znakowym haśle. Jest to równoważne z wybraniem 4 pozycji dla liter z 6 dostępnych (lub 2 pozycji dla cyfr z 6 dostępnych). Wykorzystujemy kombinacje bez powtórzeń \(C_n^k=\binom{n}{k}\)
\(\displaystyle C_6^4= \binom{6}{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{720}{24 \cdot 2} = 15\)
(Można to również obliczyć jako \(\binom{6}{2}\) – wybierając 2 miejsca dla cyfr: \( \binom{6}{2} = 15\)
Musimy ustalić, na ile sposobów można umieścić 4 litery (L) i 2 cyfry (C) w 6-znakowym haśle. Jest to równoważne z wybraniem 4 pozycji dla liter z 6 dostępnych (lub 2 pozycji dla cyfr z 6 dostępnych). Wykorzystujemy kombinacje bez powtórzeń \(C_n^k=\binom{n}{k}\)
\(\displaystyle C_6^4= \binom{6}{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{720}{24 \cdot 2} = 15\)
(Można to również obliczyć jako \(\binom{6}{2}\) – wybierając 2 miejsca dla cyfr: \( \binom{6}{2} = 15\)
Krok 4: Całkowita liczba haseł (Reguła Mnożenia)
Całkowita liczba unikalnych haseł to iloczyn: wybór miejsc × wybór liter × wybór cyfr (reguła mnożenia).
\(\displaystyle \text{Hasła} = W_{6}^4 \cdot W_{4}^2 \cdot \binom{6}{4} = 1296 \cdot 16 \cdot 15 = 311040\)
Całkowita liczba unikalnych haseł to iloczyn: wybór miejsc × wybór liter × wybór cyfr (reguła mnożenia).
\(\displaystyle \text{Hasła} = W_{6}^4 \cdot W_{4}^2 \cdot \binom{6}{4} = 1296 \cdot 16 \cdot 15 = 311040\)
Odpowiedź
Można utworzyć 311040 różnych haseł.