Definicja (Wariacje z powtórzeniami)
Wariacją z powtórzeniami ze zbioru \(n\)-elementowego nazywamy każdy \(k\)-wyrazowy ciąg którego wyrazami są elementy danego zbioru.
WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI
Twierdzenie (Liczba wariacji z powtórzeniami)
Liczba wszystkich różnych \(k\)-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru \(n\)-elementowego jest równa:
\[\displaystyle \large W_n^k=n^k\] gdzie \(n,k\in \mathbb{N}^+\)\(k\) - długość ciągu, liczba elementów w ciągu,
\(n\) - liczba elementów zbioru wyjściowego.
Przykład 1
Niech dany będzie zbiór: \(A=\{a, b\}\)
Utwórzmy wszystkie jednoelementowe ciągi, którego elementy należą do zbioru \(A\)
Nasz zbiór jest dwuelementowy, czyli: \(n=2\)
Ciąg, który mamy utworzyć, ma być jednoelementowy, czyli: \(k=1\)
Ilość ciągów jakie możemy utworzyć obliczamy ze wzoru na wariację z powtórzeniami \(\displaystyle W_n^k=n^k\)
Obliczmy: \(\displaystyle W_2^1=2^1=2\)
Otrzymaliśmy dwa ciągi: \[(a)\ (b)\]
Przykład 2
Niech dany będzie zbiór: \(A=\{a, b\}\)
Utwórzmy wszystkie dwuelementowe ciągi, którego elementy należą do zbioru \(A\)
Nasz zbiór jest dwuelementowy, czyli: \(n=2\)
Ciąg który mamy utworzyć ma być dwu elementowy, czyli: \(k=2\)
Ilość ciągów jakie możemy utworzyć obliczamy ze wzoru \(\displaystyle W_n^k=n^k\)
Obliczmy: \(\displaystyle W_2^2=2^2=4\)
Otrzymaliśmy cztery ciągi: \[(a,a)\ (a,b)\ (b,a)\ (b,b)\]
Przykład 3
Niech dany będzie zbiór: \(A=\{a, b\}\)
Utwórzmy wszystkie trzyelementowe ciągi, którego elementy należą do zbioru \(A\)
Nasz zbiór jest dwuelementowy, czyli: \(n=2\)
Ciąg który mamy utworzyć ma być trzy elementowy, czyli: \(k=3\)
Obliczmy: \(\displaystyle W_2^3=2^3=8\)
Otrzymaliśmy osiem ciągów: \[(a,a,a)\ (a,a,b)\ (a,b,a)\ (a,b,b)\] \[(b,a,a)\ (b,a,b)\ (b,b,a)\ (b,b,b)\]
Przykład 4
Niech dany będzie zbiór: \(A=\{a, b\}\)
Utwórzmy wszystkie czteroelementowe ciągi, którego elementy należą do zbioru \(A\)
Mamy \(n=2\) i \(k=4\) zatem: \( \displaystyle W_2^4=2^4=16\)
Otrzymaliśmy szesnaście ciągów: \[(a,a,a,a)\ (a,a,a,b)\ (a,a,b,a)\ (a,a,b,b)\] \[(a,b,a,a)\ (a,b,a,b)\ (a,b,b,a)\ (a,b,b,b)\] \[(b,a,a,a)\ (b,a,a,b)\ (b,a,b,a)\ (b,a,b,b)\] \[(b,b,a,a)\ (b,b,a,b)\ (b,b,b,a)\ (b,b,b,b)\]
Przykład 5
Niech dany będzie zbiór: \(A=\{a, b, c\}\)
Utwórzmy wszystkie dwuelementowe ciągi, którego elementy należą do zbioru \(A\)
Mamy \(n=3\) i \(k=2\) zatem: \( \displaystyle W_3^2=3^2=9\)
Otrzymaliśmy dziewięć ciągów: \[(a,a)\ (a,b)\ (b,a)\ (a,c) \ (c,a)\] \[(b,b)\ (b,c)\ (c,b)\ (c,c)\]
Przykład 6
Niech dany będzie zbiór: \(A=\{a, b, c\}\)
Utwórzmy wszystkie trzyelementowe ciągi, którego elementy należą do zbioru \(A\)
Mamy \(n=3\) i \(k=3\) zatem: \( \displaystyle W_3^3=3^3=27\)
Otrzymaliśmy dwadzieścia siedem ciągów
Cechy wariacje z powtórzeniami
- występuje określona liczba k spośród n elementów, przy czym elementy w ciągach mogą się powtarzać.
- istotna jest kolejność występowania elementów.
- k jest dowolną liczbą naturalną.
WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI - ZADANIA
Zadanie 1
Na parterze cztery osoby wsiadają do windy 10-cio piętrowego bloku.
Na ile sposobów mogą oni wysiąść z windy jeżeli każdy może wysiąść na dowolnym piętrze?Zadanie 2
Ile jest liczb 5-cyfrowych, w których cyfry mogą się powtarzać i są utworzone z liczb \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\)Zadanie 3
Ile jest liczb 5-cyfrowych, w których cyfry mogą się powtarzać i są utworzone z liczb \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\)Zadanie 4
Ile jest liczb 5-cyfrowych, w których cyfry mogą się powtarzać i są utworzone z liczb \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\), ponadto trzy pierwsze cyfry są nieparzyste, a ostatnie dwie cyfry są parzyste. Zadanie 5
Ile jest liczb 5-cyfrowych, w których cyfry mogą się powtarzać i są utworzone z liczb \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\), ponadto trzy pierwsze cyfry są parzyste, a ostatnie dwie cyfry są nieparzyste. Liczba nie może zaczynać się od zera. Zadanie 6
Rzucamy trzy razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Za każdym razem zapisujemy wynik.
Ile różnych ciągów możemy otrzymać? Zadanie 7
Rzucamy sześć razy monetą. Za każdym razem zapisujemy wynik R (reszka) O (orzeł).
Ile możemy otrzymać takich ciągów? Zadanie 8
Hasło do systemu składa się z 6 znaków, gdzie każdy znak może być jedną z liter \(a, b, c, d, e, f\) lub jedną z cyfr \(0, 1, 2, 3\). Na ile sposobów można utworzyć takie hasło? Zadanie 9
Hasło do systemu składa się z 6 znaków. Pierwsze 4 znaki to litery z zbioru \(\{a,b,c,d,e,f\}\), a ostatnie 2 znaki to cyfry z zbioru \(\{0,1,2,3\}\). Znaki mogą się powtarzać. Na ile sposobów można utworzyć takie hasło, jeśli litery muszą występować na początku, a cyfry na końcu? Zadanie 10
Hasło do systemu ma mieć długość 6 znaków i musi składać się dokładnie z 4 liter ze zbioru
\(\{a,b,c,d,e,f\}\) oraz 2 cyfr ze zbioru \(\{0,1,2,3\}\).
Litery i cyfry mogą być rozmieszczone w dowolnej kolejności i mogą się powtarzać.
Na ile sposobów można utworzyć takie hasło?
→ dalej Kombinacje →
← wstecz: Wariacje bez powtórzeń ←