RÓŻNE ZADANIA - KOMBINATORYKA
Zadanie 1
Oblicz, ile jest liczb 10-cyfrowych dodatnich, w których zapisie występują dokładnie trzy siódemki, dokładnie jedna piątka, a pozostałe cyfry to cyfry parzyste dodatnie.
Analiza warunków
Zdefiniujmy dostępne cyfry:Siódemki: 7 (mamy użyć 3)
Piątki: 5 (mamy użyć 1)
Cyfry parzyste dodatnie: {2, 4, 6, 8} (zostało 6 wolnych miejsc)
Krok 1: Wybór miejsc dla trzech siódemek
Wybieramy 3 miejsca z 10 dostępnych. Ponieważ kolejność wybierania samych miejsc nie jest istotna, zastosujemy kombinacje
\(C_{n}^k\) gdzie: \(n=10, \,\, k=3\)
\( |M_7| = C_{10}^3 = \binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 120 \)
Wybieramy 3 miejsca z 10 dostępnych. Ponieważ kolejność wybierania samych miejsc nie jest istotna, zastosujemy kombinacje
\(C_{n}^k\) gdzie: \(n=10, \,\, k=3\)
\( |M_7| = C_{10}^3 = \binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 120 \)
Krok 2: Wybór miejsca dla jednej piątki
Z pozostałych 7 miejsc wybieramy jedno dla cyfry 5. Ponownie zastosujemy kombinacje \
\(C_{n}^k\) gdzie: \(n=7, \,\, k=1\)
\( |M_5| = C_7^1 = \binom{7}{1} = 7 \)
Z pozostałych 7 miejsc wybieramy jedno dla cyfry 5. Ponownie zastosujemy kombinacje \
\(C_{n}^k\) gdzie: \(n=7, \,\, k=1\)
\( |M_5| = C_7^1 = \binom{7}{1} = 7 \)
Krok 3: Obsadzenie pozostałych miejsc
Zostało nam 6 wolnych miejsc. Na każdym z nich możemy umieścić dowolną z cyfr parzystych dodatnich: \( \{2, 4, 6, 8\} \). Ponieważ cyfry mogą się powtarzać na różnych pozycjach, zastosujemy wariacje z powtórzeniami
\(W_n^k\) gdzie: \(n=4, \,\, k=6\)
\( |M_P| = W_4^6 = 4^6 = 4096 \)
Zostało nam 6 wolnych miejsc. Na każdym z nich możemy umieścić dowolną z cyfr parzystych dodatnich: \( \{2, 4, 6, 8\} \). Ponieważ cyfry mogą się powtarzać na różnych pozycjach, zastosujemy wariacje z powtórzeniami
\(W_n^k\) gdzie: \(n=4, \,\, k=6\)
\( |M_P| = W_4^6 = 4^6 = 4096 \)
Krok 4: Obliczenie łącznej ilości liczb
Zgodnie z regułą mnożenia, całkowita liczba możliwości to iloczyn wyników z poprzednich kroków:
\( N = C_{10}^3 \cdot C_7^1 \cdot W_4^6 \)
\( N = 120 \cdot 7 \cdot 4096 = 840 \cdot 4096 = 3\,440\,640 \)
Zgodnie z regułą mnożenia, całkowita liczba możliwości to iloczyn wyników z poprzednich kroków:
\( N = C_{10}^3 \cdot C_7^1 \cdot W_4^6 \)
\( N = 120 \cdot 7 \cdot 4096 = 840 \cdot 4096 = 3\,440\,640 \)
Komentarz
W zadaniach tego typu kluczem jest odróżnienie sytuacji, w której wybieramy tylko miejsce (kombinacje), od sytuacji, w której na wybranych miejscach rozmieszczamy różne wartości (wariacje).
Odpowiedź
Liczb spełniających warunki zadania jest 3 440 640.