RÓŻNE ZADANIA - KOMBINATORYKA

Zadanie 2

W dziesięciopiętrowym budynku do windy wsiada 6 pasażerów. Na ile sposobów mogą wysiąść, jeśli:
a) nikt nie wysiądzie poniżej trzeciego piętra,
b) na piętrze drugim wysiądą 4 osoby, a na trzecim 2 osoby,
c) na dwóch dowolnych piętrach wysiądą grupy odpowiednio 4-osobowa i 2-osobowa?

Podpunkt a) Ograniczenie wyboru pięter

Jeśli nikt nie wysiada poniżej 3. piętra, pasażerowie mają do wyboru piętra: {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Jest to 8 dostępnych pięter.
Każdy z 6 pasażerów podejmuje niezależną decyzję, więc zastosujemy wariacje z powtórzeniami \( W_n^k \):
\( N_a = W_8^6 = 8^6 = 262\,144 \)

Podpunkt b) Konkretne osoby na narzuconych piętrach

Piętra są już wyznaczone (drugie i trzecie). Musimy jedynie wybrać osoby do grup.
1. Wybieramy 4 osoby z 6 na piętro drugie. Zastosujemy kombinacje \( C_n^k \):
\( C_6^4 = \binom{6}{4} = 15 \)
2. Z pozostałych 2 osób wybieramy 2 na piętro trzecie:
\( C_2^2 = \binom{2}{2} = 1 \)
\( N_b = 15 \cdot 1 = 15 \)

Podpunkt c) Dowolne dwa piętra dla grup 4 i 2-osobowej

W tym przypadku musimy uwzględnić zarówno wybór osób do poszczególnych grup, jak i wybór pięter, na których te grupy wysiądą.
1. Wybór osób do grup:
Tak jak w punkcie b. Z 6 osób wybieramy 4 do pierwszej grupy. Pozostałe 2 osoby automatycznie tworzą drugą grupę. Stosujemy kombinacje
\( C_6^4 \cdot C_2^2 = 15 \cdot 1=15 \)
2. Przypisanie grup do pięter:
Mamy dwie różne grupy (4-osobową i 2-osobową). Musimy im przyporządkować dwa różne piętra z 10 dostępnych. Ponieważ grupy są rozróżnialne (mają różną liczbę osób), zastosujemy wariacje bez powtórzeń \( V_{10}^2 \):
\( V_{10}^2 = 10 \cdot 9 = 90 \)
Wynik końcowy (reguła mnożenia):
\( N_c = 15 \cdot 90 = 1350 \)

Odpowiedź końcowa

a) 262 144 sposoby, b) 15 sposobów, c) 1 350 sposobów.