ARGUMENT LICZBY ZESPOLONEJ - ZADANIA
Zadanie 11
Oblicz argument główny liczby zespolonej: \(\displaystyle z=1-i\sqrt3\)
Rozwiązanie
\(\displaystyle z=1-i\sqrt3\)
\( z=a+ib\)
Liczba \(\displaystyle z=1-i\sqrt3\) leży w czwartej ćwiartce ponieważ \(a> 0\,\,\, i\,\,\, b< 0\)
Korzystamy ze wzoru \(\displaystyle tg\, \varphi= \frac {b}{a}\) gdzie \(a=1\,\,\,\,b=-\sqrt3\)
\(\displaystyle tg\, \varphi= \frac {-\sqrt3}{1}=-\sqrt3\)
Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy \(\sqrt3=tg\frac{\pi}{3}\)
\(\displaystyle tg\, \varphi=-tg\frac{\pi}{3}\)
Minusa pozbywamy się stosując wzór: \(-tg\, \alpha=tg\,(\pi-\alpha)\)
\(\displaystyle-tg\, \frac{\pi}{3}=tg(\pi-\frac{\pi}{3})=tg\frac{2\pi}{3}\)
\(\displaystyle tg\, \varphi=tg\,\frac{2\pi}{3}\)
Opuszczając tangensy i otrzymujemy najmniejsze dodatnie rozwiązanie tego równania.
\(\displaystyle\varphi=\frac{2\pi}{3}\)
Ponieważ liczba zespolona leży w czwartej ćwiartce do otrzymanego wyniku musimy dodać jeszcze \(\pi\)
\(\displaystyle\varphi=\frac{2\pi}{3}+\pi=\frac{5\pi}{3}\)
\(\displaystyle arg\,z= \frac{5\pi}{4}\)
Ostatecznie otrzymaliśmy.
Odpowiedź
\(\displaystyle arg \, (1-i\sqrt3)= \frac{5\pi}{3}\)
