JEDNOSTKA UROJONA

Definicja (Jednostka urojona)

Liczbę zespoloną postaci \(z=(0, 1)\) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy ją symbolem : \(i\) \[i=(0, 1)\]

Inaczej mówiąc jest to ustalona liczba zespolona, która ma pewną własność opisaną w twierdzeniu poniżej.

Symbol \(i\) wprowadził w 1777 roku Leonhard Euler (szwajcarski matematyk i fizyk 1707 - 1783).

Interpretacja geometryczna jednostki urojonej

Jednostka urojona czyli liczba i to punkt na płaszczyźnie zespolonej o współrzędnych (0, 1)

Liczbę \(i\) interpretujemy, jako punkt na płaszczyźnie o współrzędnych \((0, 1)\)

Twierdzenie (o jednostce urojonej)

Jednostka urojona spełnia równość: \[\displaystyle \large i^2= -1\]

Dowód

Korzystamy z definicji mnożenia liczb zespolonych :
\(z_1\cdot z_2 = (a_1\cdot a_2-b_1\cdot b_2 , \,\, a_1\cdot b_2+b_1\cdot a_2) \) gdzie \(z_1=(a_1, b_1) ;\,\, z_2=(a_2, b_2) \)

korzystamy z definicji liczby urojonej : \(i=(0, 1)\)

oraz ze wzoru : \(a=(a,0)\)

\(i^2=i\cdot i=(0,1)\cdot(0,1)=\) \((0\cdot 0-1\cdot 1 ,\,\, 0\cdot1+1\cdot0)=\) \((-1, 0)=-1\)