POSTAĆ ALGEBRAICZNA LICZBY ZESPOLONEJ

Twierdzenie (Postać algebraiczna liczby zespolonej)

Każdą liczbę zespoloną \(z=(a, b)\) możemy przedstawić w postaci \[\large z=a+ib\] gdzie:
\(a, b\in \mathbb{R}\) - liczby rzeczywiste
\(i\) - jednostka urojona

Postać algebraiczną liczby zespolonej nazywamy również postacią kartezjańska lub postacią kanoniczną.

Dowód

\((a,0)+(0,b)=(a,b)\)

\((0,b)=(b,0)\cdot(0,1)=\) \(=(b\cdot0-0\cdot1,b\cdot1+0\cdot0)=(0,b)\)

\(a=(a,0) ;\,\,\, b=(b,0) ;\,\,\, i=(0,1)\)

\((a,b)=(a,0)+(0,b)=\) \(=(a,0)+(b,0)\cdot(0,1)=a+bi\)

Definicja (Część rzeczywista i część urojona liczby zespolonej)

Niech dana będzie liczba zespolona postaci \(z=(a+ib) \)
1. Liczbę \(a\) nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej \(z\) , co oznaczamy \(Re z=a\) (z łac. realis)
2. Liczbę \(b\) nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej \(b\) , co oznaczamy \(Im z=a\) (z łac. imaginalis)

Oś OX nazywamy osią rzeczywistą płaszczyzny zespolonej i oznaczamy ją Re z

Oś OY nazywamy osią urojoną i oznaczamy ją Im z

część rzeczywista i część urojona liczby zespolonej na płaszczyźnie

Liczbę postaci \(z=ib=0+ib\) gdzie \(b\) jest liczbą rzeczywistą nazywamy liczbą czysto urojoną lub liczbą urojoną.

A nazwa liczba zespolona \(a+ib\) (z łac. complex) wynika pewnie dlatego, że jakby "zespalała" dwa obiekty: liczbę rzeczywistą \(a\) i liczbę urojoną \(ib\).

Nazwę liczba urojona wprowadził w 1637 roku Kartezjusz (francuski filozof, matematyk, fizyk 1596 - 1650 ) natomiast nazwę liczba zespolona wprowadził Carl Friedrich Gauss (niemiecki matematyk, fizyk, astronom 1777 - 1855)

Działania na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej

Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonuje się jak na dwumianach według praw analogicznych do praw arytmetyki liczb rzeczywistych, przy warunku \(i^2=-1\)

Niech dane będą liczby zespolone \(z_1=(a+ib)\,\,z_2=(c+id)\)

\(z_1+z_2=(a+ib)+(c+id)=a+c+i(b+d)\)

\(z_1-z_2=(a+ib)-(c+id)=a-c+i(b-d)\)

\(z_1\cdot z_2=(a+ib)\cdot(c+id)=\) \(ac+iad+ibc+i^2bd=ac-bd+i(ad+bc)\)

\(\displaystyle\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+ib}{c+id}=\frac{(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)}=\) \(\displaystyle\frac{ac-iad+ibc-i^2bd}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+ i\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\)

Dzielną i dzielnik pomnożyliśmy przez \((c-id)\) aby w mianowniku uzyskać liczbę rzeczywistą, przy dzieleniu zakładamy, że \(z_2 \neq 0=0+i0\)