LICZBA ZESPOLONA, JAKO PARA UPORZĄDKOWANA

Definicja (Liczba zespolona, jako para uporządkowana)

Liczbą zespoloną - nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych \[\mathbb{C}=\{z=(a, b)\}\] gdzie:
\(\mathbb{C}\) - oznacza zbiór liczb zespolonych
\(a, b\in \mathbb{R}\) - liczby rzeczywiste
\(z=(a, b)\) - liczba zespolona, jako para uporządkowana liczb rzeczywistych

Powyższą definicję liczb zespolonych wprowadził cytowany William Hamilton.

Interpretacja geometryczna liczby zespolonej

Liczbyę zespoloną interpretujemy jako punkt na płaszczyźnie zespolonej

Liczbę zespoloną \(z=(a, b)\) gdzie \(a, b\in \mathbb{R}\) interpretujemy, jako punkt na płaszczyźnie o współrzędnych \((a, b)\)

Zbiór wszystkich takich punktów nazywamy płaszczyzną zespoloną

Poniżej podamy definicje działań na liczbach zespolonych.

Definicja (Równość liczb zespolonych)

Niech dane będą liczby zespolone : \(z_1=(a_1, b_1) ;\,\, z_2=(a_2, b_2) \)
Równość tych liczb określa warunek : \(z_1=z_2 \,\, \Leftrightarrow \,\, a_1 = a_2\,\,\,\, oraz\,\,\,\, b_1 = b_2 \)

Definicja (Suma i iloczyn liczb zespolonych)

Niech dane będą liczby zespolone : \(z_1=(a_1, b_1) ;\,\, z_2=(a_2, b_2) \)
Sumę liczb zespolonych określamy wzorem: \[z_1+z_2 = (a_1 + a_2 ,\, b_1 + b_2) \]

Iloczyn liczb zespolonych określamy wzorem: \[z_1\cdot z_2 = (a_1\cdot a_2-b_1\cdot b_2 , \,\, a_1\cdot b_2+b_1\cdot a_2) \]

Odejmowanie dwóch liczb zespolonych \(z_1-z_2 \) określamy podobnie jak w liczbach rzeczywistych, jako dodawanie \(z_1+ (-z_2) \)

Dzielenie dwóch liczb zespolonych \(\frac {z_1}{z_2} \) określamy podobnie jak w liczbach rzeczywistych, jako mnożenie \(z_1 \cdot \frac {1}{z_2}\) gdzie \(z_2\neq0\) przy czym liczbę odwrotną \(\frac 1z\) gdzie \(z=(a,b)\) określamy wzorem \(\large z^{-1}=\frac 1z=\frac{1}{(a,b)}=\left(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}\right)\)

Definicja (Różnica i iloraz liczb zespolonych)

Niech dane będą liczby zespolone : \(z_1=(a_1, b_1) ;\,\, z_2=(a_2, b_2) \)
Różnica liczb zespolonych określamy wzorem: \[z_1-z_2 = (a_1 - a_2 ,\, b_1 - b_2) \]

Iloraz liczb zespolonych określamy wzorem:

\(\displaystyle\frac {z_1}{z_2}=z_1\cdot\frac {1}{z_2}=\frac{(a_1, b_1)}{(a_2, b_2)}=\) \(\displaystyle(a_1, b_1)\cdot\left(\frac{a_2}{a_2^2+b_2^2},\frac{-b_2}{a_2^2+b_2^2}\right)=\) \(\displaystyle\left(\frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2},\frac{b_1a_2-b_2a_1}{a_2^2+b_2^2}\right)\)

Korzystanie ze wzorów na mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w takiej postaci nie jest zbytnio praktyczne, dużo prościej wykonuje się te działania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej.

Definicja (Liczby rzeczywiste jako podzbiór liczb zespolonych)

Każdą liczbę rzeczywistą \(a\in \mathbb{R}\) możemy przedstawić w postaci : \[a=(a,0)\]

Niech dane będą dwie liczby zespolone postaci \(z_1=(a, 0) ;\,\, z_2=(b, 0) \) korzystając z definicji działań na liczbach zespolonych otrzymujemy : \[z_1+z_2 = (a + b ,\, 0)=a+b \] \[z_1-z_2 = (a - b ,\, 0) =a-b\] \[z_1\cdot z_2 = (a \cdot b ,\, 0)=a\cdot b \] \[\displaystyle\frac {z_1} {z_2} = \left (\frac ab ,\, 0\right) =\frac ab \] Widzimy, że działania na liczbach zespolonych typu \((a , 0)\) gdzie \(a\in \mathbb{R}\) sprowadza się do działań na liczbach rzeczywistych.